バックアップが済みましたら、状況についてお尋ねします。
Thunderbirdを起動して下記について調べてお答えください。

問1：
Thunderbirdの正確なバージョンを教えてください。

問2：
受信ができないメールアカウントは1つ、それとも複数でしょうか。また、「サーバーの種類」がPOP／IMAPかも教えてください。

問3：
フォルダーペイン（画面左側）で、問題のアカウントの「受信トレイ」で右クリックし、「プロパティ」を選択してください。
フォルダーのプロパティ＞一般情報の真ん中くらいの行に、「メッセージ数」と「ディスク上のサイズ」という項目があります。
それぞれの値の表示を教えてください。

問4：
問題のアカウント設定＞サーバー設定の一番下、「メッセージの保存先」にメールの保存場所が設定されています。
そのフォルダーを開いて、「Inbox」ファイルを調べてください。
・ファイルはありますか？
・ファイルのプロパティ＞全般の「属性」でどちらもチェックは付いていませんか？
・ファイルのプロパティ＞セキュリティにて、ご自身のユーザーのアクセス許可（フルコントロール／変更／読み取りと実行／書き込み）が付与されていますか？

以上、よろしくお願いします。

ケビン さん、EarlgreyTea と申します。

[quote="ケビン"]解決法をご教示ください。[/quote]
現在ご提示の情報だけではいくつかの可能性が考えられ、これが解決法というものを示すことはできません。
もう少し詳細な状況を知る必要があります。

しかし、まずは現在のThunderbirdのプロファイルのバックアップを取っておきましょう。
これからの作業で悪化させてしまった場合でも、現在のデータを保存しておくためです。
ちなみに環境はユーザーエージェントからすると「Windows 7」ということでよろしいでしょうか。

[list=1]
[*]バックアップ先となる十分な容量のデバイスをPCに接続します。ローカルのUSBメモリーやHDD/SSDでも、リモートストレージでも構いません。
[*]Thundetbirdを起動し、メニュー＞ヘルプ＞トラブルシューティング情報を開きます。
[*]アプリケーション基本情報＞プロファイルフォルダー項目の「フォルダーを開く」をクリックします。
[*]エクスプローラーでフォルダーが開きますので、Thunderbirdは終了しておきます。
[*]エクスプローラーで開かれているフォルダーから3階層上（現在位置→Profiles→Thunderbird→Roaming）に移動します。
[*]Thunderbirdフォルダーを右クリックして「コピー」を選択します。
[*]バックアップ先デバイスを右クリックして「貼り付け」を選択します。[/list]

[quote="ケビン"]「メールボックスにメールを書き込めませんでした。ファイルシステムに書き込み権限があるか、ディスクに十分な空き容量があるか確認してください。」とエラー表示がされ、メールの受信ができなくなりました。[/quote]
そのエラーメッセージの前半部分は、メールボックス（フォルダー）のファイルに書き込もうとしたが書き込めなかったということを示しています。
後半部分は、適切な内容でない場合が多いためあまり気にしない方がよいです。
書き込み権限や空き容量ではなく、ファイル自体が削除やリネームされているケースが考えられます。

困っています。
「メールボックスにメールを書き込めませんでした。ファイルシステムに書き込み権限があるか、ディスクに十分な空き容量があるか確認してください。」とエラー表示がされ、メールの受信ができなくなりました。
解決法をご教示ください。