oioihiro さん、EarlgreyTea と申します。

[quote="oioihiro"]複数のGメールアドレスアカウントをThunderbirdで管理しています。
この設定を、複数のPCで共有して使っています。
メッセージフィルターで特定のフォルダに移動するように
メールを振り分けているのですが、[/quote]
どういう運用をされているのかの詳細を教えてください。
以下お尋ねします。

問1
各PCのThunderbirdとOSのバージョンを教えてください。（関係ないと思いますが一応です）

問2
複数の Gmailアカウントの数と、各アカウントの種類は IMAP／POPどちらでしょうか。

問3
「この設定を、複数のPCで共有」の意味は次のどれでしょうか。
（A) 各PCのTunderbirdでプロファイルはそれぞれ作成しているが、同じGmailアドレスを利用している
（B) 各PCのTunderbirdでプロファイルはそれぞれ作成しているが、メッセージの保存先フォルダーを共有サーバーに作成してそれを各PCのThunderbirdで共有している
（C) プロファイルを共有サーバー上に作成してそれを各PCのThunderbirdで共有している
（D) それ以外（詳細をお願いします）

問4
メッセージフィルターは「新着メール受信時」に動作する設定かと思いますが、移動先のフォルダーはローカルフォルダーとかのアカウント外のフォルダーでしょうか。それともGmailのサーバー上にあるフォルダー（ラベル）でしょうか。

[quote="oioihiro"]ダウンロード後もサーバにメッセージを残す の設定項目も見つからず[/quote]
それはPOPアカウント専用の設定です。
IMAPの場合はそもそもメールはサーバー上にあり、それをThunderbirdはローカルに同期ダウンロードします。
ちなみにPOPではメールのステータス管理はメールソフトが自前でやっているだけですが、IMAPではサーバーでステータスを持っています。

複数のGメールアドレスアカウントをThunderbirdで管理しています。
この設定を、複数のPCで共有して使っています。
メッセージフィルターで特定のフォルダに移動するように
メールを振り分けているのですが、

一つのPCがメールを受信した際に、フォルダに振り分けられるのですが
２つ目以降のPCが受信した際には、フォルダに振り分けがされません。
（振り分けしない通常のメールは受信できています）

ダウンロード後もサーバにメッセージを残す の設定項目も見つからず
どうすれば２つ目以降のPCも、フォルダに振り分けができるようになるでしょうか？