ご丁寧にありがとうございます！！
こんな現象が出るのは自分だけ……？？と思い、色々設定を触ってみても
さっぱり分からなかったので、とても助かりました。
やはりバージョンが関係していたのですね。
使えなくなる機能拡張があるのは困るので、60.0へのバージョンアップは諦めようと思います。
最終更新が古いアドオンがいくつかあるので、多分使えなくなるような気がします。
完全テーマは利用したことがないのですが、試してみようかと思います。
本当にありがとうございました。

[quote="オガワ"]Windows7で、52.9.1を使用しています。
アドオンを追加しようとリンクボタンを押すと、
なぜかブラウザが起動してしまうようになりました。[/quote]
当方でも、Thunderbird 52.9.1 では オガワ さんのところと同じ結果になります。
しかし、Thunderbird 60.0 では、問題なくアドオンマネージャーの [アドオン入手] から、拡張機能やテーマをインストールすることができます。

おそらくですが、[アドオン入手] でアクセスするサイトの変更が影響しているのではないでしょうか。

Thunderbird 52.x 系のデフォルト設定では、addons.mozilla.org が基準となり、ロケールやバージョンなどの情報を加味して、[アドオン入手] のアクセスがおこなわれています。拡張機能やテーマ、辞書などのインストール、アドオンの自動更新チェックに関する URL 設定等も同様です。
この addons.mozilla.org は、Firefox と Thunderbird で共通でした。

しかし、Thunderbird 用のアドオンに関しては、このサイトが addons.thunderbird.net に移行されています。
Thunderbird 60.0 では、この移行内容を反映したデフォルト設定になっているので、アドオンマネージャーの [アドオン入手] は最初から addons.thunderbird.net にアクセスし、アドオンのインストールが可能なサイトとして開かれます。拡張機能やテーマのリンクをクリックすれば、Thunderbird のタブでそれぞれのページが開きますし、[Thunderbird へ追加] ボタンを押せばインストールが実行されます。軽量テーマも適用できます。

一方、現在の Thunderbird 52.x 系では、[アドオン入手] を開くと既存の情報をたどって addons.mozilla.org にアクセスしますが、そこには Thunderbird 用のアドオンはなく、addons.thunderbird.net にリダイレクトされます。
リダイレクト後、ページ内の個々のアドオンのページを開こうとしたり、[Thunderbird へ追加] ボタンを押しても、仰るようにブラウザーで開く動作として処理されるようです。（ちょうど、右クリックから [リンクをブラウザーで開く] の動作と同じです。）

Thunderbird 52.x 系では、操作対象がアドオンのインストールを許可されていないドメインになってしまうためだと思われますが、詳しいことはぼくもわかりません。
試しに、Thunderbird 52.9.1 の xpinstall.whitelist.add に addons.thunderbird.net を追加して [アドオン入手] を開いてみましたが、それだけでは拡張機能のインストールは実行できず、ブラウザで開く動作のままでした。関連する他の項目も全部書き換える必要があるのか、そもそも 52.x 系では新しいアドオンサイト（addons.thunderbird.net）に対応できていないのかもしれません。

[quote="オガワ"]２台パソコンを使用しているのですが、もう一台にも同じ現象が出ています。[/quote]
もう１台のほうも、Thunderbird 52.9.1 でしょうか？　もしそうなら、上記と同じ背景事情が影響しているのだろうと思います。

[quote="オガワ"]タブで開くようにするにはどうしたらいいのでしょうか。[/quote]
一番確実な方法は、Thunderbird 60.0 にアップデートすることでしょう。
しかし、Thunderbird 52.9.1 で使えていた既存アドオン（拡張機能）の中から、使えなくなるものがたくさん出てくる可能性が高いと思います。

Thunderbird 60.0 が正式にリリースされている今となっては、このあたりを修正した Thunderbird 52.x 系の新しいマイナーバージョン（52.9.2 とか）がリリースされることは期待薄でしょうし......。

仰っているように、「拡張機能」はブラウザで xpi ファイルをダウンロードしてから、Thunderbird にインストールする方法があります。「完全テーマ」は「拡張機能」と同様の方法で対処可能です。面倒なのは「軽量テーマ」の適用ですね。

解決策ではありませんが、情報のひとつとして...。的外れな話だったらすみません。


（おことわり）
現在、健康上の制約により不定期な書き込みしかできなくなっています。すぐに応答できない場面がかなり多くなりますことを、ご容赦ください。

[color=#111111][font=ヒラギノ角ゴ Pro W3, Hiragino Kaku Gothic Pro, メイリオ, Meiryo, ＭＳ Ｐゴシック, MS PGothic, MS UI Gothic, Helvetica, Arial, sans-serif][size=4]Windows7で、52.9.1を使用しています。
アドオンを追加しようとリンクボタンを押すと、[/size][/font][/color]
[color=#111111][font=ヒラギノ角ゴ Pro W3, Hiragino Kaku Gothic Pro, メイリオ, Meiryo, ＭＳ Ｐゴシック, MS PGothic, MS UI Gothic, Helvetica, Arial, sans-serif][size=4]なぜかブラウザが起動してしまうようになりました。
（アドオンマネージャーの注目→"すべて見る"や、[/size][/font][/color]
[color=#111111][font=ヒラギノ角ゴ Pro W3, Hiragino Kaku Gothic Pro, メイリオ, Meiryo, ＭＳ Ｐゴシック, MS PGothic, MS UI Gothic, Helvetica, Arial, sans-serif][size=4]おすすめテーマ→"すべて見る"のリンク）[/size][/font][/color]
[color=#111111][font=ヒラギノ角ゴ Pro W3, Hiragino Kaku Gothic Pro, メイリオ, Meiryo, ＭＳ Ｐゴシック, MS PGothic, MS UI Gothic, Helvetica, Arial, sans-serif][size=4]前までは[color=inherit !important]サンダーバード[/color]内でタブが立ち上がって、アドオンの追加ができたのですが、[/size][/font][/color]
[color=#111111][font=ヒラギノ角ゴ Pro W3, Hiragino Kaku Gothic Pro, メイリオ, Meiryo, ＭＳ Ｐゴシック, MS PGothic, MS UI Gothic, Helvetica, Arial, sans-serif][size=4]ブラウザの画面が開いてしまうので追加ができません。[/size][/font][/color]
[color=#111111][font=ヒラギノ角ゴ Pro W3, Hiragino Kaku Gothic Pro, メイリオ, Meiryo, ＭＳ Ｐゴシック, MS PGothic, MS UI Gothic, Helvetica, Arial, sans-serif][size=4]アドオン自体は.xpiファイルでダウンロードして追加がなんとか可能かもしれませんが、[/size][/font][/color]
[color=#111111][font=ヒラギノ角ゴ Pro W3, Hiragino Kaku Gothic Pro, メイリオ, Meiryo, ＭＳ Ｐゴシック, MS PGothic, MS UI Gothic, Helvetica, Arial, sans-serif][size=4]テーマの追加は不可能なのでしょうか……。[/size][/font][/color]
[color=#111111][font=ヒラギノ角ゴ Pro W3, Hiragino Kaku Gothic Pro, メイリオ, Meiryo, ＭＳ Ｐゴシック, MS PGothic, MS UI Gothic, Helvetica, Arial, sans-serif][size=4]２台パソコンを使用しているのですが、もう一台にも同じ現象が出ています。[/size][/font][/color]
[color=#111111][font=ヒラギノ角ゴ Pro W3, Hiragino Kaku Gothic Pro, メイリオ, Meiryo, ＭＳ Ｐゴシック, MS PGothic, MS UI Gothic, Helvetica, Arial, sans-serif][size=4]タブで開くようにするにはどうしたらいいのでしょうか。[/size][/font][/color]
[color=#111111][font=ヒラギノ角ゴ Pro W3, Hiragino Kaku Gothic Pro, メイリオ, Meiryo, ＭＳ Ｐゴシック, MS PGothic, MS UI Gothic, Helvetica, Arial, sans-serif][size=4]なんとか助けてもらえませんか。[/size][/font][/color][color=#111111][font=ヒラギノ角ゴ Pro W3, Hiragino Kaku Gothic Pro, メイリオ, Meiryo, ＭＳ Ｐゴシック, MS PGothic, MS UI Gothic, Helvetica, Arial, sans-serif][/font][/color]