ご提示の設定条件と同じ状態になっている当方の環境（Windows 7 64bit + Thunderbird 52.4.0）で、メッセージ本文内にある http なリンクをクリックすると、[プログラムを起動] というタイトルのダイアログが開きます。
同じく https なリンクをクリックしても、同様のダイアログが開きます。

このダイアログにおいて、[今後 http リンクは同様に処理する] にチェックを付けて [リンクを開く] を実行すると、その設定結果が保存され、それ以後はダイアログを経ず既定のブラウザが直接呼び出されるようになります。

もし、http リンクの動作設定が誤って保存されてしまったかどうかを確認したいのなら、オプション設定の [添付ファイル] -> [受信] にあるプロトコル／ハンドラーのリストを調べてみてください。
この中の [ファイルの種類] 欄に [http] の項目があり、そこで何らかのブラウザが選択されていれば、[プログラムを起動] のダイアログを経ずにそのブラウザが起動するのは、設定結果に基づいた動作となります。
　network.protocol-handler.warn-external.http = true
であっても、その警告下で [今後 http リンクは同様に処理する] と選択した結果が、以後は実行されているということですね。

http なリンクをクリックしたとき、[プログラムを起動] のダイアログが出るよう修正したいのなら、[動作設定] で [毎回確認する] を選択するか、[動作設定を削除する] で [http] の定義そのものを削除してください。上記の設定内容に基づいた動作に戻ると思います。

比較として、https なリンクで開いたダイアログで、[今後 https リンクは同様に処理する] にチェックを付けて [リンクを開く] を実行すると、https なリンクでもダイアログを経ずブラウザが呼び出されるようになるはずです。

ここまでは、仕様に基づく一般的な動作です。

そうではなく、[添付ファイル] -> [受信] にあるプロトコル／ハンドラーのリストは上記のような状態ではなく、[プログラムを起動] ダイアログの出現をスキップするような条件はいっさい認められないのに、ご質問のようなことが起こっているのなら、Thunderbird に何らかの障害が発生しているのかもしれません。

とりあえず以上です。的外れな話だったらすみません。

（おことわり）
現在、健康上の制約により不定期な書き込みしかできなくなっています。すぐに応答できない場面がかなり多くなりますことを、ご容赦ください。

network.protocol-handler.warn-external.http = true
の状態で、
http:
のリンクをクリックすると、そのまま既定のブラウザが起動します。
ちなみに、
network.protocol-handler.warn-external.https = true
の状態で、
https:

のリンクは、正常に？アプリケーションのリストなどのダイアログが表示されます。


https://bugzilla.mozilla.org/
で検索した限りでは、Firefoxで [highlight=#f7f7f7][font=Fira Sans, Open Sans, Helvetica Neue, Arial, Helvetica, sans-serif][size=2]2017-07-28 の日付での報告が Status=NEW の状態でヒットしました。[/size][/font][/highlight]
[highlight=#f7f7f7][font=Fira Sans, Open Sans, Helvetica Neue, Arial, Helvetica, sans-serif][size=2]https://bugzilla.mozilla.org/show_bug.cgi?id=440892[/size][/font][/highlight]
[highlight=#f7f7f7][font=Fira Sans, Open Sans, Helvetica Neue, Arial, Helvetica, sans-serif][size=2]
[/size][/font][/highlight]
これは現時点で既知なのか、どなたかご存知ないでしょうか。