同じ環境です。(OS X10.10.5+Thunderbird45.4.0)
アドオンその他のカスタマイズを施した普段使いのプロファイルでメールの作成・送信を試してみましたが、特に問題はなく送信画面がすぐに現れ、すぐに文字入力のカーソル(キャレット)も表示され、文字入力も滞らず出来ています。
問題が発生し始めた1週間前頃に何か行ったことはありますか?
Thunderbird周りもそうですが、IMEを変更したとか、OSの設定変えたとかなど含めて。
現時点ではピンポイントで何が原因なのかは残念ながらつかめません。
そこで、一種の診断機能としてセーフモードや新規プロファイルでの確認をまずはお勧めします。
セーフモードの主な目的はアドオン無効化ですが、あわせて一部のThunderbirdの機能も無効化します。
新規プロファイルは全くのまっさらな環境となるため、問題がThunderbirdそのものにあるのかkiiさん個人の環境(プロファイル)に存在するのか判断する手段として有効です。
Thunderbird のセーフモード | Thunderbird ヘルプ複数のプロファイルを使用する | Thunderbird ヘルプ【追記】
新規プロファイルを試す場合、メール作成画面(送信画面)はメールアカウントの登録がないと表示できないため、何か一つメールアカウントの登録設定を施してから画面を開く必要があります。
念のため、アカウント設定からサーバのメールを削除しない設定にしたほうが安全です。