[quote="tosri"](A) 新着メールは自動で認識・受信されているが、デスクトップ通知が表示されない、ということなんです。[/quote]
となると、フォルダーペインで未読メール数はちゃんと更新されていて(増加している)、
そのフォルダーが既にフォルダーペインで選択された状態ならば、スレッドペイン(メール一覧)も自動的に更新されて新着メールが一覧にでてくるのに、
デスクトップ通知が表示されない、
ということになりますね。

ちょっと仕様が変わったとかがあって、IMAPで、Inboxには新茶ｌクメールが無くて、他のMboxの新着だけだと、デスクトップ通知は表示されなくて、そのフォルダーの上にマウスをポインターを乗せた時にツールチップの形で新着が表示される、というような現象かな。
ハイバーネーション・サスペンド・スタンバイ・スリープの後の復帰後にタイマー関係の処理が滅茶苦茶になるとか、
autosync.jsの中にタイポががあって、下手をするとAutoSync関係でとんでもないことが起こるかもしれない、
というようなバグが、Tb 38.2.0で知られています。
Tb 38.1.0にしてみてどうなるかを見ておいた方がいいでしょうね。
それでダメなら、しばらくはTb 31に戻して様子見。

(A) 新着メールは自動で認識・受信されているが、デスクトップ通知が表示されない、ということなんです。

「新着メッセージの通知でデスクトップ通知を表示するにしても表示されません。」は、
(A) 新着メールは自動で認識・受信されているが、デスクトップ通知が表示されない、ということなんですか？
それとも、(B) 新着メールを自動でチェックしにいかないので、新着メールを自動で認識・受信できるはずもなく、その結果、デスクトップ通知が表示されない、ということなんですか？
(A)と(B)では、全然話が変わってきますよね？

Thunderbird 38.2.0にしたら問題が起こるようになった、というトピックが、このフォーラムだけでも、2つあります。
「38.2.0にversion upすると」、ということだと、既に他のトピックにある、(B)のような現象かな？
だとすると、おそらくThundebird 38.2.0で作りこまれたバグのせいでしょうから、Thunderbird 38.1.0にダウングレードしてみて(上書きインストールでもOKのようだが、普通は安全な方をとって、クリーンインストール。自動更新を止めておかないとまた38.2.0にされてしまうので、ご注意を)、様子を見てみましょう。

Xubuntu 14.04でThunderbird 31.07から38.2.0にversion upすると
新着メッセージの通知で
デスクトップ通知を表示するにしても表示されません。（設定はすべてチェックを入れております。）
Thunderbird 31.07では新着メッセージの通知がデスクトップに表示されておりました。