回答ありがとうございます。

[color=#323d4f][font=Lucida Grande, Trebuchet MS, Helvetica, Arial, sans-serif][size=4][highlight=#dee3e7]このオートコンプリート（自動補完）機能が正常に動作しないケースがあるということですか。[/highlight][/size][/font][/color]
[color=#323d4f][font=Lucida Grande, Trebuchet MS, Helvetica, Arial, sans-serif][size=4][highlight=#dee3e7]アドレス帳に登録されている目的の宛先＝「test＠hoge.co.jp」[/highlight][/size][/font][/color]
[color=#323d4f][font=Lucida Grande, Trebuchet MS, Helvetica, Arial, sans-serif][size=4][highlight=#dee3e7]ご自身のドメイン＝「＠mozilla.ne.jp」[/highlight][/size][/font][/color]
[color=#323d4f][font=Lucida Grande, Trebuchet MS, Helvetica, Arial, sans-serif][size=4][highlight=#dee3e7]だとすると、[宛先] 入力欄に test と入力したとき、先頭に「test＠mozilla.ne.jp」というアドレス帳にないアドレスが現われ、そのまま [Enter] キーで確定すると、test の文字列のみが確定されてしまう。目的の宛先である「test＠hoge.co.jp」を確定させるには、オートコンプリートの候補リストから「下カーソルで２回押し下げてからエンター」する必要がある ―― ということでしょうか。[/highlight][/size][/font][/color]
[color=#323d4f][font=Lucida Grande, Trebuchet MS, Helvetica, Arial, sans-serif][size=4][highlight=#dee3e7]
[/highlight][/size][/font][/color]
上記全くその通りの状況です。
「他の人はアドレス帳に登録されたアドレスのみが表示されるので」は
法人で他のThunderbirdユーザーはこのような現象が出ない（数週間前は私も出ていませんでした）
またLDAPサーバーは使っておりません。
セーフモードの起動でも、全く状況変わらなかった為、プロファイルを新しく作成して
アドレスに何件かアドレスを登録すると宛先欄に直接、自動補完されたアドレスが表示されました。
どうやらdefaultのプロファイルに問題があるようです。
新しいプロファイルに元々のプロファイルのデータを移行して再度試して見たいと思います。
結果はまた更新します。　有用な情報をありがとうございました。

Thunderbird のメッセージ作成ウィンドウのメッセージヘッダツールバーにある [宛先] 入力欄に手動で宛先情報を入力すると、オートコンプリート機能でマッチする候補がリストアップされます。
このオートコンプリート（自動補完）機能が正常に動作しないケースがあるということですか。

アドレス帳に登録されている目的の宛先＝「test＠hoge.co.jp」
ご自身のドメイン＝「＠mozilla.ne.jp」

だとすると、[宛先] 入力欄に test と入力したとき、先頭に「test＠mozilla.ne.jp」というアドレス帳にないアドレスが現われ、そのまま [Enter] キーで確定すると、test の文字列のみが確定されてしまう。目的の宛先である「test＠hoge.co.jp」を確定させるには、オートコンプリートの候補リストから「下カーソルで２回押し下げてからエンター」する必要がある ―― ということでしょうか。

[quote="loukesan"]他の人はアドレス帳に登録されたアドレスのみが表示されるので[/quote]
これは、
（1）アドレス帳に登録された他の人のメールアドレスは、という意味ですか。
（2）それとも、loukesan さんと同じ会社・学校などの法人内で Thunderbird を使っている他のユーザーは、という意味ですか。

当方は、Windows 8 / 7 という2種類の OS で、Thunderbird 38.2.0 を使っていますが、どちらの OS 環境でもご質問のような現象は起こっていません。
アドレス帳は、ローカルのアドレス帳のみ使用しています。

仮に法人内でのご利用だとして、アドレスの参照先として LDAP サーバを使っておられますか。
Thunderbird のオプション設定にある [編集] -> [アドレス入力] -> [アドレスの自動補完] の設定はどのようになっていますか。

当方は LDAP サーバを使っていないので具体的な検証はできませんが、LDAP サーバを利用している場合、Thunderbird のオートコンプリート機能が正常に働かないケースがあるようです。
Bugzilla を、"LDAP server" などのキーワードで検索すると、類似の報告が見つかるかもしれません。
https://bugzilla.mozilla.org/

しかし、この条件で（2）の場合だと、同じく LDAP サーバを使っているであろう他のユーザーのところでは発生しないのは考えにくく、loukesan さんの環境に固有の要因がからんでいる可能性も考えられます。
（1）の場合だと、なぜ特定の連絡先情報（名前やメールアドレス）だけがおかしくなるのか、にわかには想像できません。

loukesan さんの環境に限るなら、トラブルシューティングの基本である「セーフモード」と「新しいプロファイル」での動作は確認なさいましたか。
もし実行なさっているのなら、その結果はどうでしたか。
（参考）
・セーフモード
https://support.mozilla.org/ja/kb/safe-mode
・複数のプロファイルを使用する
https://support.mozilla.org/ja/kb/using-multiple-profiles

ストレートな解決策でなく申し訳ありませんが、いろいろ不明な点があったので、そのことだけコメントさせていただきました。
もう少し細部が明らかになってくると、他のユーザーさんから別のアドバイスが寄せられるかもしれません。

（なぜかスパムと判定されて投稿できなかったので、メールアドレスをカギカッコで括り、アットマークを全角にしてあります。）

:oops:
宛先欄に文字を入力するとアドレス帳にされているアドレスの一番上に
入力した文字と自分のドメインを足したアドレスが表示される。
そのまま、エンターを押すとドメインが消え入力した文字のみの宛先となってしまう。
入力した文字「test」で自分のドメインが「@mozilla.nejp」だとすると、一番上に
「test@mozilla.ne.jp」が表示される。
他の人はアドレス帳に登録されたアドレスのみが表示されるので
そのままエンターで選択できるが、私の場合、下カーソルで2回押し下げてから
エンターしないとアドレス帳内のアドレスを選択できないのが煩わしい。

解決策をご存知の方、対応策お願いいたします。

環境　Windows7　64bit
　　　　ThunderBird　38.2.0
　　　　アドオン：Llightning4.0.2、LookOut 1.2.13、ProvideFofGoogleCalender1.0.4