当方の問いかけにお答えいただき、ありがとうございます。
ご利用の環境条件や、問題が起こる状況などの概要はわかりました。
以下、いただいた回答全体を眺めてみて、一番気になったことを書きます。
先にリプライくださっている meeyar さんと同じことなのですが、遅れた分、周辺情報を含めて書いておきます。
HideS さんが書きました:
→メールサーバ mail.会社名.com からの応答: Couldn't sync mailbox.と出ています。
その応答内容だとすると、POP サーバ上のメールボックスが満杯になるなどして、クライアント側との正常な照合・応答ができなくなっているケースが考えられるでしょうか。
つまり、Thunderbird で [受信] を実行して POP サーバにログインするところまではできるが、STAT コマンドでメールボックスにあるメッセージの数や容量を取得しようとしても、飽和しているメールボックスに対して POP サーバが正常に応答できない、という可能性です。
HideS さんが書きました:
5名の名前@会社名.COMとゆうアドレスを5つ作っていまして、そのうちの1つだけがこのエラーが出るんです。他の4人のアドレスでは送受信出来ています。
エラーが出るユーザーの Thunderbird で、そのアカウント設定の中の [サーバ設定] -> [サーバ設定] -> [ダウンロード後もサーバにメッセージを残す] にチェックが入っていて、その下の2つの項目、
[ダウンロードしてから [ ] 日以上経過したメッセージは削除する]
[ダウンロードしたメッセージを削除したらサーバからも削除する]
には、チェックがついていない、ということはありませんか?
こうした条件で POP アカウントを使っていると、メールサーバにどんどんメッセージが溜まっていきます。
通常、POP サーバも昔よりは上限が大きくなっていますが、一般的には IMAP サーバよりは上限が小さいことが多いので、そのメールサーバのサービスで提示されているメールボックスの容量上限と、実際に受信しているメッセージの条件 ―― 例えば比較的大容量の添付ファイルが多いとかの条件によっては、意外に早く飽和状態になってしまうケースがありますし、そうでなくても何年分ものメッセージを溜め込んでいると、いずれは飽和してしまいます。
もしこのような条件で Thunderbird を使っておられた結果、POP サーバのメールボックスが飽和したという流れなら、Thunderbird 側では対処できません。
サーバ側で当該メールボックスの飽和状態を解消する必要があるでしょう。
お使いのメールサーバの仕様がわかりませんが、もし Web メールのようにブラウザからそのメールボックスにアクセスする機能が提供されているのなら、ブラウザからメールボックス内の不要なメッセージを削除して、POP サーバ上のメールボックスにアキをつくることができるかもしれません。
そういうサービスが提供されていないなら、サポートに依頼して当該のメールボックスの容量上限を増加してもらうか(たぶん有料...)、既存のメッセージを削除してもらうことになると思います。
しかし、Thunderbird の設定が上記のようにはなっておらず、必ず POP サーバから削除しているのだとしたら、仕切り直して原因を探ることになります。
いずれにしても、現状で一番はっきりしていているのはエラーメッセージですので、そのメールサーバを契約しているところのサポート窓口に連絡して、当該アドレスのメールボックスの状況を確認してもらったほうがいいと思います。サーバ側で点検してもらえば、さらに状況がはっきりするでしょう。
(補足1)
HideS さんが書きました:
(GmailやYahoo!メールなど)ではなくて、アドレスは 個人名@会社名.com です。
自社で管理していないなら、"会社名.com" のドメインとそれを使ったメールサーバの管理・運営を委託している業者があるはずです。
問い合わせるのはそこのサポート窓口です。その際、「メールサーバ mail.会社名.com からの応答: Couldn't sync mailbox.」のエラーメッセージが出ていることを的確に伝え、そのメールアドレスが割り当てられているメールボックスがどのような状態になっているか点検してもらってください。
(補足2)
現状で問題が起こっていない4人のユーザーも、上述と同じ設定で Thunderbird(あるいは別のメールソフト)を利用しているなら、早晩同じエラーが出るようになるでしょう。
POP サーバは、受信後はサーバ上のメッセージを削除する使い方が基本です。
IMAP サーバのようにサーバ側でメッセージ本体を長期管理することはできないので、誤消去などの対策として短期間(例えば1週間とか2週間とか)は残したとても、早めに削除して POP サーバ上のメールボックスを飽和させないように運用するのが普通です。
以上、現時点の情報から推測できることで、もっとも可能性のありそうな点にふれさせていただきました。