横から失礼します。
すでにご覧になって十分理解されているのなら申し訳ないのですが、Gmail のヘルプ記事にも注意を払うことをお勧めします。
Thunderbird で正常に Gmail を使うためには、Gmail 側が指示・推奨している内容を Thunderbird の設定に正しく反映させることが必要です。
そのためには Gmail 側の諸事情を把握しておくことが先決です。大筋の流れとしては、Gmail 側の仕様を理解してご自身が望む動作になる設定を適切に施した上で、その内容に沿って Thunderbird 側を設定していくことになります。
Thunderbird などのメールクライアントから Gmail を使うことが前提なら、さしあたり次のページを参考にしてみてください。
(参考)・IMAP または POP でメール クライアントを使用する - Gmail ヘルプ
https://support.google.com/mail/topic/3398031本トピックのご質問内容に関しては、上記ヘルプページの [IMAP に関する問題のトラブルシューティング] にある
・「アプリケーション固有のパスワードが必要です」
・ クライアントでユーザー名とパスワードが受け入れられない
―― あたりと、その中のリンク先が参考になると思います。
合わせて、[IMAP の基本] のうち最低でも [IMAP クライアントの推奨設定] の中の [Thunderbird] の項目は、きちんと目を通しておくことをお勧めしておきます。
(その他の項目も、必要に応じて目を通しておくと、後々の助けになると思います。)
(補足)
negibowz さんが書きました:
Thunderbird 38.0ベータ版で試してみました。
先のユーザー名やパスワードが間違っていませんかの表示はなくなりましたが、
パスワードを入力するよう求めます。先のパスワードを入力しますが、何回も求めます。
送受信信テスト(異なったメールアドレスからの送信も含む)も試しましたが、受信できません。
Gmail 側の2段階認証プロセスの設定、もしくはそれに対応する Thunderbird の設定に、漏れや誤りがあるのではないでしょうか?
Gmail 側の条件と Thunderbird のバージョンの組み合わせは、次のように考えるとわかりやすいと思います。
(i)Gmail の2段階認証を標準状態のまま使いセキュリティ強度を維持したいのなら、この方式に対応した Thunderbird 38.0 を使う。
(ii)Gmail の2段階認証を緩和し「安全性の低いアプリによるアクセスを許可」を許容してもいいのなら、 Thunderbird 31.x を使う。
この場合、使いたい組み合わせで、Gmail 側の必要な設定をまず済ませ、そのあと Gmail 側で設定した条件に合わせて Thunderbird の設定をおこなってください。
Thunderbird 側で注意する点としては、次のようなことがあります。
最初のご質問の時点では Thunderbird 31.6.0 をお使いだったようですが、そこで使っていたプロファイルをそのまま Thunderbird 38.0 Beta でもお使いですか?
Thunderbird 38.0 は約 10 カ月ぶりのメジャーアップデートとなるバージョンで、仕様変更や追加された新機能がけっこうあります。
そうした変更のひとつとして、パスワード情報を保存するファイル構成が変更されています。
Thunderbird 31.x から 38.0 に更新した(=同じプロファイルを使い回した)場合、すでに保存されているパスワード情報は自動的に新しい仕様の保存先に移行されるはずですが、既存のパスワード情報に何らかの潜在的な問題があったとしたら、正常に移行されないケースがあるかもしれません。(38.0 から 31.0 に戻すような場合は、さらに注意が必要です。)
これまで使っておられた Thunderbird 31.x に登録してあるアカウント数が多くないのなら、既存のプロファイルは温存したまま、38.0 用の新しいプロファイルを追加作成し、そのプロファイルで Thunderbird 38.0 Beta を起動して、Thunderbird の標準的な手順でアカウント設定をしたほうが、後々の安定性にはプラスになると思います。メッセージデータやアドレス帳などは、それぞれ個別に新しいプロファイルに移植します。
38.0 用の新しいプロファイルが問題なく構築できたなら、38.0 が正式リリースされたとき、そのプロファイルを継続して使っても、問題は起こりにくいと思います。少なくとも、現状の 31.x のプロファイルを正式リリースの 38.0 でそのまま使うよりはいいと思います。
一方、既存の Thunderbird 31.6.0 を使いたいなら、上記 Gmail ヘルプの [クライアントでユーザー名とパスワードが受け入れられない] にある「安全性の低いアプリによるアクセスを許可」をおこなってみてください。ただし 31.x 系は、38.0 の正式リリース後、約 12 週間ほどの重複期間を経てサポートが終了します。
(補足)
「安全性の低いアプリ」というのは、強化された Gmail のセキュリティ基準(2段階認証プロセス)から見ての話です。「許可」したからといってただちに危険な目に遭うわけではありません。
ただ、同等の利便性を確保できるなら、セキュリティ強度は弱いより強いほうがいいのはいうまでもありません。したがって Gmail に限っていえば、Gmail の安全性を下げて Thunderbird 31.x を使うよりは、Gmail のセキュリティ強度に対応した(その予定の...)Thunderbird 38.0 を使うほうが望ましい、ということになります。
(注意)Thunderbird 38.0 Beta はかなり安定してきており、順調にいけばあと 10 日ほどで正式リリースされる予定です。Thunderbird 38.0 Beta を日常用途に使っても大きな問題は起こらないと思いますが、それでも開発版であることには変わりありませんから、相応の慎重さをもって扱ったほうがいいと思います。その意味で、既存のプロファイルではなく、38.0 用の新しいプロファイルを作ったほうが賢明でしょう。
とりあえず以上です。的外れな話だったらすみません。