使用されている Thunderbird のバージョンはいくつですか？

セキュリティ対策ソフトやマルウェアの干渉によって似たような症状が現れる事があります。
Thunderbird で最後に受信できる事を確認した以降に、Thunderbird も含め、何か更新または新たにインストールしたソフトウェアはありますか？

セキュリティ対策ソフト等をご利用でしたら、それを一時的にオフにする事で問題の現象が解消するかどうかも試してみてください。
（あくまでも一時的にです）
もしそれで解消するようでしたら、セキュリティ対策ソフトの設定をご確認ください。

MACのパソコンで、昨日からgmail.が受信できなくなりました。大変困ってます。

以下の表示が出てます
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安全な接続ができませんでした

live.mozillamessaging.com への接続中にエラーが発生しました。 Peer's certificate has an invalid signature. (エラーコード: sec_error_bad_signature)

受信したデータの真正性を検証できなかったため、このページは表示できませんでした。
この問題を Web サイトの管理者に連絡してください。

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どなたか解決法を教えていただけますか？

よろしくお願いします。