連投スミマセン。
起こっている事実ですので補足いたします。
第二投稿のGoogleアカウントの分ですが、その後のサーバログインで古いメールを一部吸い上げて来る症状が出ています。
第二投稿に記述の通り、フィルタリング前の最初のダウンロードで欠損無くダウンロードできていたことが確認できていないことより、消えて再ダウンロードしているのか、最初にダウンロードされないメールがあってそれが漏れる様にダウンロードされたのかは不明です。
確証は持てませんが、Googleで無い方のアカウントのダウンロード自体に気付く欠損が無いと思われること、Googleメール自体はWEBやスマホで既読であるという特殊性を考慮すると、Googleメールサーバのヘッダが関係してダウンロードされない結果となっているのではないかという感じはしますが、メーラ側の要因もあるのではないかと思います。
Googleアカウントでの比較経験はありませんが、第一投稿の不整合からしてバージョン2を使用していた時の方がまだ安定している感じです。
一応、ハード条件を追加いたします。
IBM ThinkPad T42p 2373-93J 2GBRAM