アドバイスが一つも付いていませんが、Thunderbirdには関係が無いことだからだと思います。
送られてきたメール内容の通り、メールを削除するしか無いでしょう。
あなた自身が開設したwebmailのアカウントのことなので誰にも答えられないです。

差出人adminから下記のメッセージが届きました。
メールの削除をどうしたら良いか教えてください。
WebMailにログインして．．．云々ではどうしたら良いか分かりません。
宜しくお取り計らいください。

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あなたのメールボックスはもうすぐいっぱいです。
メールの削除をお願いします。

不要なメールをメールボックスから削除するには、WebMailを利用します。
WebMailにログインして不要なメールを削除し、ごみ箱を空にしてください。

Your mailbox is over the high water mark.
Please delete some messages from your mailbox!