当方では再現しませんでした。
#でたらめな日時のメッセージはないので Thunderbird 上でヘッダの日時を変更して
Gmail と同期させた場合です。きちんと変更が Gmail でも反映されました。
[環境:Thunderbird 9.0.1 日本語版、Windows 7 Professional SP1]
まずは日時がでたらめな Gmail で受信したメッセージのソースを確認してみてください。
その具体的な内容が提示されないとわかりません。
#Gmail 上のメッセージソース表示で確認すること。
#その上で Thunderbird で同期後に同じくメッセージソース表示で確認です。
また Gmail の各種設定内容も念のため確認してみてください。
それでも再現するようならば、以下のトラブルシューティングをおこなって問題の切り分けを
おこなってみてください。
#Thunderbird のセーフモード起動、新規プロファイルの追加適用、再インストールです。
[参照]
Mozilla Thunderbird 9.0.1 リリースノート - トラブルシューティング
セーフモード | 操作方法 | Thunderbird ヘルプ
複数のプロファイルを使用する | 操作方法 | Thunderbird ヘルプ
[セーフモード起動の補足]
Thunderbird 5.0 以降では、セーフモードの実行方法が変更・追加されています。
(A)起動中の Thunderbird からセーフモードで再起動する場合
メニューの [ヘルプ] -> [アドオンを無効にして再起動] を実行してください。
(B)終了している Thunderbird をセーフモードで起動する場合
[Shift] キーを押したまま、通常の手順でスタートメニューやデスクトップの
アイコンから起動してください。
(C)従来どおりの -safe-mode の起動オプションも有効です。
いずれの場合も、[Thunderbird セーフモード] というダイアログが表示されます。
どの項目もチェックをつけないで [セーフモードを続ける] ボタンを押してください。