自分は IMAP を使ってないので、的外れなことを言ってたらすみません。

症状からみて同時接続数の制限ではないでしょうか。
通常、負荷回避やセキュリティ対策などで、IMAP サーバ側で同一 IP / 同一アカウントからの同時接続数を制限していることが多いと思います。

ぼく自身はうまく説明できないのですが、このへんが参考になりませんか？
http://haginov.blog35.fc2.com/blog-entry-37.html
　

ThunderbirdでIMAPアカウントを2つ使用しています。
確認したいフォルダがたくさんあるので片っ端からフォルダを開いているとある程度開いたところで「imap.*****.comに接続しています」でとまって「imap.*****.comに接続できませんでした」と表示されてしまいます。
その前に開いたフォルダまでは普通にスイスイ開けます。
セキュリティソフトの監視画面で確認してみると今までのフォルダアクセスの接続が切断されず接続されっぱなしになっています。
各種設定の内容は[url]http://mail.google.com/support/bin/answer.py?answer=77662[/url]と[url]http://mail.google.com/support/bin/answer.py?answer=78892&cbid=-1jesabdif227i&src=cb&lev=answer#[/url]に準じて変更していてそれ以外はほとんど変更していません。
解決方法がありましたら教えてください。