ごく簡単にいうと、ファイルをコピーしたり移動したりするとき、そのファイルのデータが正しくコピーまたは移動できているかをチェックするための仕組みが巡回冗長検査（CRC）です。
ご提示のような状況でこのエラーが出るということは、一般論としていえば、記録媒体（HDD とか DVD とか USB メモリとか）に物理的な障害が発生している可能性が考えられます。とくに Thunderbird の Inbox ファイルが入っているコピー元の媒体が危険かもしれません。

万が一、根本的なハードディスク障害の予兆だとしたら、なんとかしようとチェックディスクをかけるなど、ハードディスクにアクセスすればするほど傷を深めかねません。
お使いのシステム等の基礎情報が書かれてないので参考になるかどうかわかりませんが、例えば Windows なら以下のような方法で吸い出せるデータを可能な限り吸い出しておくとかしたほうがいいかもしれません。
http://www.atmarkit.co.jp/fwin2k/win2ktips/268filecopy/filecopy.html

何か別の原因で部分的・一時的にエラーが出ているだけならまだ対処方法はあるのかもしれませんが、媒体間のファイル・コピーで CRC エラーが出ているのなら楽観視はしないほうがいいと思い、コメントさせていただきました。

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Firefox 3.5.2 + 3.0.13 + others
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on Windows XP Pro SP3

コンピューターを交換するために、サンダーバードのファイルのコピーをしていたら、「inboxファイルがコピーできません。巡回冗長検査エラーです」と出ます。

ググッたのですが、結局たどり着けませんでした。

解る方、どうかご教授宜しくお願い申し上げます。