[quote="まあ"]ウェブ上ではメールを読めるのに、そして、サンダーバードが受信している音はしているのに、途中から表示されません。表示できるのは、昨年の夏くらいまでです。それ以降は全く表示されません。[/quote]
昨年の夏頃から直近のメールが Thunderbird の受信トレイに表示されないのですね。
表示できないというのは受信していないということでしょうか。

例えばサーバ上には全部で500通の受信メールがあるが、Thunderbird の受信トレイ
には昨年の夏頃までの200通しか存在していないということになるでしょうか。

[quote="まあ"]これは、受信可能なトレーの容量に制限があるのでしょうか？[/quote]
推測ですが可能性として考えられるのは以下になるでしょうか。
・「受信トレイ」などのフォルダの容量制限 4GB を超えているためにそれ以上受信でき
　ない。（この場合何かメッセージが出ると思います）
　注：OS によっては容量制限の無い場合もあります。
・サーバ上のメールを大量に受信するために1回のアクセスでタイムアウトになった。
　またはサーバ側が1回のアクセスでメールソフトがダウンロードするメール容量（通数）
　を制限している。
　受信を何回かに分けておこなうと全部受信できるようになる。
・大量のメールを受信したために Thunderbird のインデックスファイルに不具合が起き
　て実際は全部受信しているのにすべて表示できない状態になっている。
他にも原因らしきものがあるかも知れません。

[quote="まあ"]どうしたら、新しいメールをちゃんと表示できるのでしょうか？[/quote]　
上記の推測から判断できるのは以下になるでしょうか。
・「受信トレイ」などのフォルダの容量（サイズ）が制限を超えそうになっているのならば
　他のフォルダにメールを分散移動させる。
・時間を開けて（15～30分）複数回に分けて受信してみる。
・受信サーバを管理しているところにダウンロード制限について問い合わせてみる。
・「受信トレイ」の[最適化] あるいは [牽引を再構築] を実行してインデックスファイルの
　最適化・再構築をしてみる。その後、Thunderbird を再起動してから受信してみる。
・アドオンが悪さをしているかも知れないので念のため Thunderbird のセーフモードで
　起動して受信してみる。
　
[color=#660000][補足][/color]　
・フォルダサイズを簡単に知る方法
　[ツール] > [オプション] > [詳細]> [一般] の 「フォルダペインにメッセージ数などの列
　を表示できるようにする」にチェックを入れてフォルダペイン（一覧）のコラム欄で「サイ
　ズ」を選択表示させる。
・[最適化] の方法
　「受信トレイ」を選択して右クリックして [最適化] を実行する
・[牽引を再構築] の方法
　「受信トレイ」を選択して右クリックしてプロパティを選び、「一般情報」タブ内の [牽引を
　再構築] をクリックして実行する。
　
上記以外にも考えられる原因やその対処方法があるかも知れませんのでご存知の方は
フォローお願いします。　


[color=#006600]＊OS の種類も書き添えましょう。[/color]
　

先ずは同一トラブルで幾つものトピックを矢継ぎ早に建てられては困ります。
ここは貴方だけのものではありません。
http://forums.mozillazine.jp/viewtopic.php?t=8736

次に・・・・・
（１） web メールとのことですが、サービス名を伏せずに明示してください。
（２） Thunderbird で読み込もうとされている、その web メールの保存容量を明示してください。

使っているのは、Thunderbirdのバージョン 2.0.0.22 (20090605)です。
すみません。最初の投稿には、この必須情報が抜けていました。

　今日から、サンダーバードを使い始めました。ウェブ上ではメールを読めるのに、そして、サンダーバードが受信している音はしているのに、途中から表示されません。表示できるのは、昨年の夏くらいまでです。それ以降は全く表示されません。
　これは、受信可能なトレーの容量に制限があるのでしょうか？　また、どうしたら、新しいメールをちゃんと表示できるのでしょうか？