Sakiba さんの投稿にチョッとだけ付け足させて下さい。
以下、Thunderbird のメッセージフィルタを用いた自動転送での注意事項です。

Thunderbird のメッセージフィルタを用いた自動転送では、
「メッセージを転送する時元のメッセージをメール本文に含める」に設定してあっても
添付ファイルとして転送してしまう Bug があります。

MozillaZine.jp :: トピック - [url=http://forums.mozillazine.jp/viewtopic.php?t=6031]自動転送時に添付ファイルになってしまう。[/url]

このフォーラムの [url=http://forums.mozillazine.jp/search.php]検索[/url] 機能がありますので " 自動転送 " のキーワードで検索してみて下さい。
参考になる様なトピックがあると思います。

Sakiba さんが紹介されていますが、プロバイダの転送サービスを利用されるのが現実的な方策と思います。
Thunderbird で自動転送したい場合は、PC および Thunderbird は起動しっぱなし、
加えて上記の問題がある事を承知おき下さい。

[color=blue]まず、ご質問の際はご使用の環境について、最低でも [b]OS の種類およびバージョン[/b]、[b]Mozilla製品
（ここでは Thunderbird）のバージョン[/b] くらいはご記載いただきますようお願いいたします。
（ [url=http://forums.mozillazine.jp/faq.php?mode=forum]フォーラムの利用に関するご案内[/url] をぜひご一読ください。）[/color]

なお、質問される場合は、ご自身が回答者だったらどういった情報があったほうがいいか、またこの
質問文で意図する事が伝わるかどうかをご確認いただければと思います。

まず「PC宛てメールを転送」と一言に言っても、Thunderbird でどうこうするのであれば当然 PC の
電源入れっぱなしになります。そうでないなら、(プロバイダ等の) メールサーバ上で転送設定するしか
無く、ここでは分かりかねます。

Thunderbird 上で自動的に転送するのであれば、[ツール]→[メッセージフィルタ] で転送したいメール
の条件を件名や送信者アドレスで指定してやり、“以下の動作を実行する” の部分で [メッセージを転送
する] にして、右側に携帯のアドレスを入れてやればいいのではないでしょうか。

メッセージフィルタの設定方法が分からない場合などは、一度当フォーラム内などを検索した上で、
どの辺りが分からないかを補足ください。

PCに送られてくるメールを携帯電話に転送する方法はありますか？
投資関連の情報がＭｏｚｉｌｌａＴｈｕｎｄｅｒｂｉｒｄに送られてきます。
出先でもメール内容を確認したいのですが、操作方法が分かりません。
どなたか分かる方、ご回答お願い致します。