アップデートされたかもしれないということですので、まずOS側をチェックしてみてください。
shiftキーを押しながらセーフモードで再起動して、立ち上がったらThunderbirdを起動させてみてください。これで問題がないようなら他のサードパーティー製ソフトとコンフリクションをおこしている可能性が大です。
（toraさんの環境では、たぶんこの状態でも問題が起きていると思いますが）
二度手間になりますが、念のためアプリケーション > ユーティリティー > ディスクユーティリティーを起動して、ディスクの検証とディスクの修復を行なってみてください。
再起動して通常のユーザーでログインし直します。

[quote="tora"]２. メニューバーの表示がおかしい。フォントが別の物で表示される
４. 通常に終了できない。Finderの強制終了を使わないと終了できません。
[/quote]

ということですので、アプリケーション自体か関連ファイルに問題が起きているのではないかと思います。
ですので一旦白紙に戻すということで。　ローテクな方法でお恥ずかしいですが（もっとスマートな方法宇賀あればご指摘ください）

現在のプロファイルを別のHDやCD-Rなどにバックアップします。
バックアップするのはUser/Library/Thunderbirdのフォルダー全体でもUser/Library/Thunderbird/Profilesだけでも構いません。
バックアップが完了したら、Applications/Thunderbirdと、念のためUser/Library/Preferences/org.mozilla.thunderbird.plistも削除します。
再度Thunderbirdをインストールし、起動させます。
最初の起動で設定を行なうアシスタントが出ますが、全てキャンセルします。すると、なにも読み込まれていないウィンドウが表示されますので、一旦Thunderbirdを終了します。

ここまででtoraさんのUser/Library以下には新しいThunderbirdのフォルダーが出来上がるはずです。
新しいProfilesフォルダーの中にはxxxxxxx.defaultという新しいプロファイルフォルダーが出来ます。
この中身全部をごみ箱に捨て、バックアップしたデータの中のxxxxxxx.defaultの中身をそっくり移し替えます。
移動が完了すればThunderbirdを起動させ、以前の状態に戻っているか確認してみてください。
旧プロファイルを移動したことで問題が発生するようなら、プロファイル内データの何かが壊れているのだと思います。

解答ありがとうございます。

まず手順通りにやっても新規プロファイルが作成できないのですが（プロファイルマネージャーが起動しない）、そもそもこのやり方で以前の環境（アカウント、メールボックスなど）に復帰できるのでしょうか？

記憶があいまいなのですがご指摘の通り不具合の出る前にアップデートをしたような気がします。

その不具合が起きた直前に、なにか行なった（インストールやアップデート）ことはありませんか？
Thunderbirdには機能拡張やテーマを加えていませんか？→加えていれば外して再起動してみる

http://www.mozilla-japan.org/support/thunderbird/profile
の内容は試されましたか？

Thunderbirdの調子がすごく悪いです。Mac OS X 10.4.9です。

まず、
１. アカウントをいくつか併用していたのですが、左側のペインでその各アカウントが選択できるようになっていました。それが今一部のものしか選択できない状態です。（リストに表示はされる）それを選択したときに、以前では右側の大きなペインにメニューみたいのが表示され（メール受信、各メールボックスへの移動など）ていたのですが今では何も表示されません。左のペインのツリー表示でメールボックスを選択するとメールボックスによってはその中のメールが右側のペインにリスト表示されますがどちらにしろそのメールを開くことができません。
２. メニューバーの表示がおかしい。フォントが別の物で表示される
３. メールの送受信ができない。
４. 通常に終了できない。Finderの強制終了を使わないと終了できません。

などなどとてもまともではない状態です。なにか手の施しようがあればよろしくお願いします。