僕も長年この問題に悩んでいました。

2015年頃からリリースされているCardBookアドオンを使えば解決できます。

連絡先「CardBook」 :: Thunderbird向けアドオン
https://addons.thunderbird.net/ja/thunderbird/addon/cardbook/

Contacts Sidebar というアドオンを入れるとよろしいかと。
以下からダウンロード出来ます。

Contacts Sidebar Japanese Translations
http://www.geocities.jp/chimantaea_mirabilis/contactssidebar/index.html

希望される様な動作は以下で出来るのでは?
まず、ツールバーの作成をクリックしてメール作成画面を開きます。
で、メール作成画面のサイドバー内で、例えばAさんの宛先を選び、
まずダブルクリックすれば登録されたメインのメールアドレスが宛先として入ります。
つづいて、メール作成画面のサイドバー内Aさんを右クリックすると
メニューが出て来ますので、その中の「宛先に追加」をポインティングすると
登録してあるメインのメールアドレスと別のメールアドレスの二つが表示されますので、
別のメールアドレスの方をクリックすると宛先にAさんの別のメールアドレスが入ります。

[quote="marlboro-vitz"]メールアドレスをカンマなどで区切ったらいけるかと思いましたが，エラーが出て送信できませんでした．[/quote]
カンマで区切れば出来るはずなんですが・・・?

[quote="marlboro-vitz"]「別のメールアドレス」の欄には，書き込んでも呼び出す際には出てこないようですし．[/quote]
フォルダペインに表示されたサイドバー内で宛先を選び右クリックすると
メニューが出て来ます(紹介したリンク先にスクリーンショットを参照して下さい。)ので、
その中の「メッセージを作成」をポインティング、もしくはメール作成画面のサイドバー内で宛先を選び
右クリックメニューから「宛先に追加」をポインティングすれば
登録してあるメールアドレスと別のメールアドレスの二つが表示されますので、
お好きな方をクリック。

# 質問の際、OS や Thunderbird のバージョンは明示して下さい。
　 対処法や手順、表示が異なる場合がありますので。

アドレス帳に，新規カードを追加する際なんですが，１つの名前に複数のアドレスを登録することは出来るでしょうか？

例えば，アドレスを仕事用と家庭用の２つを持ってる人がいる場合，念のため，両方のアドレスに送りたいのですが，Thunderbirdのアドレス帳には１つの名前につき１つのアドレスしか登録できないのでしょうか？

メールアドレスをカンマなどで区切ったらいけるかと思いましたが，エラーが出て送信できませんでした．

「別のメールアドレス」の欄には，書き込んでも呼び出す際には出てこないようですし．

カードではなく，リストでアドレスを登録すれば，確かに複数のアドレスを登録できるんですが，あまりスマートなやり方ではないような気がしまして…

やり方をご存知の方がいらっしゃいましたら，ご教授下さい．