「また、URLが開かない」というのは以下の過去のトピックで書かれた現象の再現ということ
でしょうか。
Firefox 3.0.10で "www.xxxxx.comがありません” となることがあります

pal さんが書かれていることと内容的には同じですが上記のトピックで
と私は書きましたが、今回も同じです。
方法と手順は以下のドキュメントを参考にしてください。
基本的なトラブルシューティング


ということなら下記のドキュメントを参考にして確認してみましょう。
拡張機能やテーマのトラブルシューティング

もし問題となったアドオン、あるいは原因らしきものが判明したらぜひ経緯と結果をお願いし
ます。
　

http://wiki.mozilla.gr.jp/wiki.cgi?page=chart

基本的に、おかしくなった時は、
１．セーフモードで現象が起きるかを確認。
２．起きない場合は、入れているアドオンが原因。入れているものをひとつずつ有効・無効にして、原因を探す。
３．起きる場合は、プロファイルがおかしくなっている可能性があるので、新規プロファイルを作り、（アドオンは何も入れず）現象が起きるかを確認。（アドオンを入れる場合は、ひとつずつ入れ、不具合が起きないかを検証するとより良い）
４．新規プロファイルでも起きる場合は、OSやネットワークなど、他のことが原因の可能性があります。


> adonが関係するのかなと推測してます。
と思われるなら、セーフモードで確認してください。

OS Mac 10.5.6 またBookMark, グーグル検索頁からのクリックで”この頁は存在しません”みたいな表示が出ます。其の時に”再度読み込み”などするとしばらくしてひらきます。
全くのシロートなのですがadonが関係するのかなと推測してます。現在のアドオンは

Extensions (enabled: 19, disabled: 2):

* Adblock Filterset.G Updater 0.3.1.3
* Adblock Plus 1.0.2
* bab.la dictionary toolbar 1.3
* Dictionary Switcher 1.0
* Dictionnaire HunSpell en Français 2.0
* DownloadHelper 4.4.1
* Fast Video Download 2.02 [disabled]
* FireDictionary 0.9.12
* Firefox PDF Plugin for Mac OS X 1.0.4
* Image Zoom 0.3.1
* InfoLister 0.10.1
* Japanese-French Dictionary for rikaichan 1.10
* PDF Download 2.2.0.2
* Perapera-kun 1.0
* Rikaichan 1.05
* Save Image in Folder 1.2.6
* Save Link in Folder 1.4.5
* SearchBox Companion 1.77 [disabled]
* Toolbar Buttons 0.6.0.5
* United States English Dictionary 3.0.3
* Xmarks 3.1.1

です。全体の感じとしてはどのどんバージョンアップしてしまったエクセルみたいにTOO MUCH と言う感じがしています。そして、だんだんとSafariを立ち上げる回数がこの１年間で増えてきました。ちなみに過去数年間はSafariは立ち上げたことはありませんでした。