了解しました。
ご丁寧にありがとうございました。

[quote="okb"]しかし疑問に思うのは日本語入力途中ならMS IMEの管理下にあり、type="search"や"text"の識別可能なんでしょうか？[/quote]
誤解があるようです。
MS IMEがxhtmlのソースを読んで識別してるわけではありません。
便宜上 IMEと言ってますが、現在のWindowsの日本語入力サービスAPIはTSF（Text Services Framework）というもので、入力エンジンのことをTIP（Text Input Processor）と言います。
フォーカスが切り替わった際にAPIを通じてモードが通知されると理解してください。
それに対してどのような動作をするかはTIP次第ということです。

レス、ありがとうございます。
再度、確認したところGoogle日本語入力ではアドレスバー、検索バーともにサジェスト機能は動きます。
MS IMEでは検索バーでは機能しません。これはFirefox の画面UIは xhtml（あるいはxul） で記述されていて、検索バーは <input type="search"> 要素となっているためという認識でよろしいでしょうか？
しかし疑問に思うのは日本語入力途中ならMS IMEの管理下にあり、type="search"や"text"の識別可能なんでしょうか？

いずれにしろ、当面Google日本語入力で運用します。

okb さん、ちょっと一日放置になっちゃいましたが・・・

[quote="okb"]アドレスバーから検索入力すると日本語入力サジェストおよび検索サジェストともに機能します。
ツールバーの検索バーでは検索サジェストは効きますが、日本語入力サジェストは効きません。[/quote]
検索候補はFirefoxの機能ですが、okbさん言うところの「日本語入力サジェスト」は日本語IMEの機能です。
Google 日本語入力では「サジェスト機能」と呼んでいるようですが、Microsoft IMEだと変換（予測）候補の一覧という言い方になるかと思います。
Firefox や Chrome などのブラウザーがやっているわけではありません。
まず、ここを区別しておかないと混乱します。

Firefox の画面UIは xhtml（あるいはxul） で記述されていて、検索バーは <input type="search"> 要素となっています。[attachment=0]検索バーはsearch型入力要素.jpg[/attachment]
type="search" が指定された入力欄では、日本語IMEは変換候補を出さないという挙動（ATOKの場合にどうなるかは未確認）になります。
https://developer.mozilla.org/ja/docs/Web/HTML/Element/input/search のページの中ほどにsearch型入力欄の例がありますので、入力してみてください。
アドレスバーは type="text" の入力要素になっているので、IMEは変換候補を出します。
これは設定で変えることはできないと思いますので仕様と思ってください。

Windows のエクスプローラーも似たような挙動となります。
アドレスバーへの入力ではIMEの変換候補が出ますが、検索欄では出ません。

基本的には以下参照。
* [url=https://support.mozilla.org/ja/kb/search-suggestions-firefox]Firefox の検索候補の表示機能 | Firefox ヘルプ[/url]

此処のフォーラムでの過去ログとしては以下参照。
* [url=https://forums.mozillazine.jp/viewtopic.php?f=2&t=16877]MozillaZine.jp フォーラム • トピック - 検索バーで検索エンジンをyahooにしたら検索候補が表示されない[/url]

古いFirefoxを一旦導入しての検索エンジンでのサジェストを有効化する場合には、以下が参考に為るでしょう。
* [url=https://keijisaito.info/arc/search/firefox_suggest.htm]Firefoxの検索バーにサジェスト（入力補助）機能を追加する方法[/url]
古いFirefoxと最新のFirefoxでは検索エンジンの情報を扱うファイル名が違うので、此処も留意する必要が有ります。

検索バーを追加するアドオンとしては「Add to Search Bar」が有りましたが。現在はアドオンサイトでは入手不可能に為って居ますので、自力で探す為りして解決するしか無いでしょう。

Win10,Firefox 89.0.2、MS IME、
オプション＞検索＞検索候補を使用する(S)はチェックON

アドレスバーから検索入力すると日本語入力サジェストおよび検索サジェストともに機能します。
ツールバーの検索バーでは検索サジェストは効きますが、日本語入力サジェストは効きません。
https://www.google.co.jp/の検索バーでは機能します。
MS IMEをGoogle日本語入力にするとサジェスト機能は有効にしてますが、いずれも機能しません。
ただしChromeのアドレスバーでは機能します。

Firefox、検索バーの日本語入力サジェスト機能を有効にする方法ありませんか？