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少し時間が経っていますが、リプライがないようなので......。
自分はプロファイルを標準状態で使っていて、「ネットワークドライブでのプロファイル運用」の実体験を持っているわけではありませんが、いくつか気になった点を述べさせていただきます。

[quote="ryo.s"]今までもネットワークドライブにプロファイルを移して運用しており、ver57.0.4までは問題なく即時終了ができました。[/quote][quote="ryo.s"]Firefox ver58.0.2でネットワークドライブにプロファイルを移して運用したいのですが、終了時にタスクマネージャからプロセスが消えるのが遅く、10秒ほどかかってしまいます。[/quote]
Firefox のバージョンを更新したことで、これまでに起こっていなかった問題が起こり出した場合、
（a）新バージョンの Firefox 本体における仕様変更の影響、あるいは新しいバグ
（b）導入しているアドオン（拡張機能）やユーザー設定が新バージョンに不適合
といったことが原因になっている可能性が考えられます。加えて、
（c）これまで使ってきたプロファイルに発生していた何かしらの潜在的な要因が新しいバージョンで顕在化
といったことも起こりえます。
これらは相互に関連し合っていることもあります。

[quote="ryo.s"]終了時にタスクマネージャからプロセスが消えるのが遅く、10秒ほどかかってしまいます。消えないうちにFirefoxを起動しようとすると、「Firefoxは起動していますが、応答しません。新しいウィンドウを開くには既存のFireFoxプロセスを終了させなければなりません。」と表示されてしまいます。

また、終了してから起動を行っても、トップページが表示されるのではなく、「ご迷惑をおかけして申し訳ございません。」というページが表示され、内容としてはセッションの復元に失敗している旨の内容が記載されております。[/quote]
ご存知のように、Firefox は終了処理にあたって、プロファイル内のいくつかのデータを書き換えたり、新しく保存したり、消去したりします。
この処理内容は、ユーザーが施している設定に左右されますが、セッション情報の保存も終了処理のひとつとしてプロファイル内に関連データが書き込まれます。

ご提示の情報から察する限りでは、何らかの理由で終了時のセッション保存が滞って「プロセスが消えるのが遅く、10秒ほどかかってしまい」、結局失敗しているので、次回起動時にご提示のエラーメッセージが表示されているような印象を受けます。

一度、「新しいプロファイル」を追加作成し、まっさらな状態で Firefox 58.0.2 または 59.0 を動かしてみて、同様の問題が再現されるか否か確認なさってはいかがでしょうか。
（参考）
・基本的なトラブルシューティング | Firefox ヘルプ
support.mozilla.org/ja/kb/troubleshoot-and-diagnose-firefox-problems

もし、「新しいプロファイル」ではご質問の問題が起こらないのなら、既存のプロファイルのどこかに原因があると推測できるでしょう。
逆に、「新しいプロファイル」でも同様に終了が遅い状態が再現されるなら、Firefox 本体か、ネットワークそのものに原因が潜んでいる可能性のほうが高いと考えられます。
この点検結果をふまえて、トラブルシューティングを次のステップに進めることができると思います。

とりあえず以上です。的外れなことを書いていたらすみません。

（おことわり）
現在、健康上の制約により不定期な書き込みしかできなくなっています。すぐに応答できない場面がかなり多くなりますことを、ご容赦ください。


（余談）
ご承知のことなら余計なお世話になってしまいますが......。
プロファイルをどこに配置するかの自由度は高いですが、配置場所の条件・実情によっては、標準的な運用方法では起こらない問題が発生することがあります。
ネットワークドライブにプロファイルを配置しなければならいご事情があるのだとは思いますが、そういう運用方法で得られるメリット（リターン）と同時に、そういう運用ならではのデメリット（リスク）が生じる可能性があることは、ご承知おきください。
また、標準的な方法で Thunderbird を使う場合、万一トラブルに遭遇しても、長年培われた標準的なトラブルシューティングが通用しますが、固有の運用条件下では、それがストレートに通用しない場合があります。もちろん、ケース・バイ・ケースですし、ユーザーのスキル次第なのですが......。

ryoです。

Firefox ver58.0.2でネットワークドライブにプロファイルを移して運用したいのですが、終了時にタスクマネージャからプロセスが消えるのが遅く、10秒ほどかかってしまいます。消えないうちにFirefoxを起動しようとすると、「Firefoxは起動していますが、応答しません。新しいウィンドウを開くには既存のFireFoxプロセスを終了させなければなりません。」と表示されてしまいます。

また、終了してから起動を行っても、トップページが表示されるのではなく、「ご迷惑をおかけして申し訳ございません。」というページが表示され、内容としてはセッションの復元に失敗している旨の内容が記載されております。
このセッションの復元については、「user_pref("browser.sessionstore.resume_from_crash", false);」をabout:configに追加することで回避はできておりますが、先に書かせていただいた内容との因果関係があるように思えてなりません

今までもネットワークドライブにプロファイルを移して運用しており、ver57.0.4までは問題なく即時終了ができました。
どなたか同様の問題が発生しており、解決された方はいらっしゃいませんでしょうか。