問題が再現するページを見せていただく事はできますか？
オンラインで存在しない場合、必要なファイルを全てアーカイブした上で添付して頂いてもかまいません。
最小セットであれば尚良いです。

jQuery の 1.x 系列では 1.11.1 が、jQuery UI の Legacy 系列は 1.10.4 が
それぞれリリースされているようですが、それらを使用した場合どうなりますか？

Firefox 33 でのサイト互換性については以下のドキュメントを参照してください。
英語 https://developer.mozilla.org/en-US/Firefox/Releases/33/Site_Compatibility
日本語 https://developer.mozilla.org/ja/docs/Mozilla/Firefox/Releases/33/Site_Compatibility


余談ですがソフトウェアのバージョンはドットも省略せずに正確に書いてください。

firefox 33.0/33.01 jquery-uiのdatepickerを利用したカレンダー表示で、「uncaught exception: Missing instance data for this datepicker」エラーが発生します。
利用環境は、以下の通りです。
OS:windows7 sp1
jquery-1.9.1.js
jquery-ui-1.10.3.js

ただし、一つ前のバージョンfirefox 32.03では、問題ありませんでした。

原因を教えて下さい。