Yahoo!は以下。
[url=http://support.mozilla.org/ja/kb/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%B6%E5%90%8D%E3%81%A8%E3%83%91%E3%82%B9%E3%83%AF%E3%83%BC%E3%83%89%E3%81%8C%E4%BF%9D%E5%AD%98%E3%81%95%E3%82%8C%E3%81%AA%E3%81%84#w_web-aiaccnaucaaicgckcoageoiiacdagcauadaeao]ユーザ名とパスワードが保存されない(Web サイトがパスワードの記憶を禁止している)[/url]


おそらく、常時出来ているほうは、上記、仕様変更前から使っていて、その時保存したパスワードなどが残っている。
出来ないほうは、仕様変更後に使い始め、パスワードが保存されていない。

であれば、出来ているほうから、パスワード情報を、あるいは、プロファイルデータを丸ごと、出来ないほうに入れれば、出来るようになるはずです。

２台のパソコンを使っているがYahooへのログインを毎回入力しなければならないものと常時ログインしているものがある、同じファイアフォクッスで何が違うのか、特別な設定はどちらも行っていない。