私も同じ問題で悩みました。自宅と勤務先の私用マシンの（いずれもデスクトップ）のシンクロをしようと思いましたが、コードは次々と変化してゆき、その時点でのコードを入れないと受け付けないようです。
協力してくれる家族がいれば、電話でその時点のコードを読み上げてもらう、とか、
一度ノートパソコンと同期させ、ノートを勤務先に持ってゆきノートからデスクトップにさらに同期させる、という方法をとればできそうですが、ノートパソコンをもっていなければこれもできません。

Palさんの回答にあるページの、下の方「コンピュータの近くにいない場合にデバイスを追加する方法は?」に書かれている方法で解決できました。
まず自宅のFirefoxで、アカウント名、パスワードと、Syncキーを確認しておきます。印刷したりメールしたりして会社に持ってゆきます。
会社のFirefoxのSyncの設定で、
「デバイスを追加する」「接続して同期」画面で、（ここから先がわかりにくいのですが）「他の Sync デバイスを持っていない」 をクリックし、「 コンピュータの近くにいない...」をクリックします。
その先でアカウント名、パスワードを入れ、Syncキーを入れると同期できます。

念のため。

Firefox Sync にデバイスを追加するには?

会社のPCに、Syncアカウントを作りました。
自宅のPCで「デバイスを追加する」でコードを作成し、メールで自分宛に送って会社のPCに登録しようとしますが、「×もう一度入力してください」が表示され、進むことが出来ません。原因として自分に推測できるのは、コート作製からコード入力までに時間制限があるのかと思いますが、そのような記述は見当たりません。もし時間制限が原因だとすると、恐らくわたしはSyncを使えないことになります。どなたかご存知でしょうか?