ご指摘を受け、もう一度、設定を見直してみました。
「オプション」→「プライバシーとセキュリティ」→「履歴の消去設定」の
Firefoxの終了時には次のデータを自動消去する
でCookieにレ点（チェック）が入っていることを発見。
Cookieのレ点（チェック）を外しました。
おかげさまで、毎回のセキュリティコードの入力は不要になりました。
どうして今まで気付かなかったのか恥ずかしい。
ありがとうございます。

[quote="おペン"]ところが、Mozilla Firefox では、「このブラウザでコードを要求しないでください」にレ点（チェック）を付けてコードを入力したとしても、その後も毎回、セキュリティコードの入力を求められます。
急にこのような現象が起きたわけではなく、前からずっとそうです。OSはWindows 10 で、Firefoxは常に最新版を使うようにしています。[/quote]
Amazonのアカウントに2段階認証設定してみましたが、「このブラウザでコードを要求しないでください」は効いてますよ。
Cookieとかのサイトデータを削除しているのではないですか？
2段階認証の設定途中にそんな感じの注意が表示されていたはずです。
「Firefox を閉じたときに Cookie とサイトデータを削除する」のオプションとか、
そういう系の拡張機能とか外部ユーティリティーソフトとかのあたりでしょう。

「前からずっとそう」とのことですから、カスタマイズされた環境をずっと使い続けていたのかと思います。
まずは、新しく作ったプロファイルの初期環境でお試しください。

アマゾンで二段階認証を設定しています。
Google Chromeを使った場合、二段階目のセキュリティコードを入力する時、「このブラウザでコードを要求しないでください」にレ点（チェック）を付けてコードを入力すれば、しばらくの間は、そのパソコンでGoogle Chromeを使ってアマゾンにログインするのであれば、セキュリティコードの入力は求められません。
ところが、Mozilla Firefox では、「このブラウザでコードを要求しないでください」にレ点（チェック）を付けてコードを入力したとしても、その後も毎回、セキュリティコードの入力を求められます。
急にこのような現象が起きたわけではなく、前からずっとそうです。OSはWindows 10 で、Firefoxは常に最新版を使うようにしています。
ささいな一手間ですが、面倒に感じて、以前はFirefoxを使っていたのに、最近はChromeを使うようになってきました。
Firefoxで毎回、アマゾンのセキュリティコードの入力を求められないようにする方法はないでしょうか。