追加情報です。

アドオン更新ができない直接原因は https://versioncheck.addons.mozilla.org に対して
Public Key Pinning Extension(HPKP) がプロトコルエラー(NS_ERROR_ABORT)と
なっていたことにあるのですが、画面上のユーザーインターフェースではエラー表示されず
「更新は見つかりませんでした」で終了するので理由がわからなかったのでした。

ここから先はセキュリティー的に深い問題になるので、以上で報告終わります。

問題の本質に迫れる外部情報が無く、この1カ月近く正常な2台と異常な2台の違いを
（一度正常になると再現困難なので腫れ物に触るように）
about:configの1行ずつ比較するなど隅々まで調査した挙句、自己解決したので報告です。

結果としてFirefoxの設定・プロファイルは「全く」関係ありません。
※当然ですがプロファイル作り直しでは復旧しない

発生条件：
１．セキュリティーソフトに ESET Smart Security Ver.8 を使用している
２．上記のソフトでWebブラウザに対しHTTPSプロトコルのチェックを有効にしている
　＋アドオン更新サーバー側が７～８月に何か設定を変えたか、
　　ESR52.3.0あたりでESET V8が証明書を割り込ませた際のプロトコル処理にギャップが生じたと推定

発生しない条件：
１．ESET Smart Security Ver.8でWebブラウザに対しHTTPSプロトコルチェックを無効にする
　　※7月頃まではチェック有効でもアドオン更新は自動で出来ていた。
　　　なお、HTTPSチェックを無効にするとESETのペアレンタルコントロールが効かなくなります。

２．ESET Smart Security Ver.9以降でHTTPSチェック有効

ESR52.3.0/52.4.0だけでなく通常リリース版+ESET V8でも発生するかもしれません（当方では未確認）。
類似環境で運用の方は確認を願います。

Firefox通常版でFlash使えます。
IEが必要なら、IEで開けばいいだけのこと。


新しいバージョンの上からフルイバージョンを上書き？
トラブルの元です。


おそらくプロファイルを作り直すのが簡単でしょう。

　通販・行政サイトなどのアクセスにFlashplayerやIEtab(Internet Explorerのレンダリングエンジン組込)が必要で、
現行アドオンに制限がかかりだした通常リリース版ではなく、
個人利用ですがFirefox ESR(Windows7 32bit 52.3.0ESR)を使用しています。

　毎日Firefoxを起動する環境（パソコン２台）ではアドオン(拡張機能)の自動更新が有効に働いているのですが、
数日おきにしかFirefoxを起動しないパソコン（２台）の方では一部のアドオンで自動更新が止まってしまいました。
止まった方のパソコンでは「今すぐ更新を確認」のボタンメニューによる手動更新も
「更新は見つかりませんでした」と表示され、更新があるはずのアドオンがダウンロードされません。

例(8/29現在)：
　Classic Theme Restorer 1.6.9.1 が1.6.4 で止まっている
　NoScript 5.0.9 が 5.0.4/5.0.2 で止まっている
　Flashblock はいずれも1.5.20になっている

附帯する情報：
１）Firefox52.2.1ESR->52.3.0ESRに更新以後の問題と疑い、
　　52.2.1ESRにロールバック（フルインストーラーで上書き)したが自動/手動更新とも不可のまま変わらない。
２）アドオン更新履歴がどちらの環境でも空白になっている
３）該当するアドオンを一度削除し、再度ダウンロードすれば最新版にできる。
　（個別アドオンの設定データは残っており再設定は不要だった）
４）NoScriptが5.0.9に自動更新できている方の環境では、
　 "aboutaddons.js"がブロック対象として引っかかるようになった。
　　(5.0.4/5.0.2ではブロックされない)
５）NoScript5.0.4/5.0.2を削除しても他のアドオンの手動更新はできないまま。

ここ２週間ぐらいの間でアドオン更新履歴かバージョン管理が破綻するような非連続事象が発生しているようですが、
原因の特定に至っていません。

同様の現象で、アドオンの削除／再ダウンロード以外の方法で解決された方とか、
特定の設定で発生する情報があれば、お知恵拝借させてください。