情報が不足し過ぎです。

[quote="kotka"]その後、アンインストールとデータフォルダのファイルを一部修正して再インストール。[/quote]
一部修正というのは、具体的に何をしたのでしょうか？
パスワードが無くなったということと合わせて推測すると、プロファイルを作り直したのでしょうか？

[quote="kotka"]
なんとか起動はできるようになりましたが、表示できないサイトがたくさん。
Amazon.co.jpやTwitterなどが安全ではありませんとのことで接続不能。
Googleでさえも安全でないとのこと。
[/quote]
「安全な接続ではありません」というページに「エラー内容」というボタンが表示されていませんか？
そのボタンを押すとエラー内容が表示されるはずです。なお、「例外を追加」ボタンは押さないように。

エスパーデバッグすると、カスペルスキーインターネットセキュリティのようなHTTP[u][b]S[/b][/u]接続もスキャンするセキュリティソフトを使っていて、プロファイルを作り直した後で中間者になるための証明書をインストールしていないのではないでしょうか？

[quote="kotka"]Ver.50へ自動アップデートされたら、プロファイルが存在しないというメッセージが出て起動しなくなってしまいました。
その後、アンインストールとデータフォルダのファイルを一部修正して再インストール。
なんとか起動はできるようになりましたが、表示できないサイトがたくさん。
Amazon.co.jpやTwitterなどが安全ではありませんとのことで接続不能。
Googleでさえも安全でないとのこと。
記憶させていたパスワードなどもなくなってしまったし、もうめちゃくちゃです。Windows8.1です。[/quote]
現象から察すると、Ver.50へ自動アップデートしただけでプロファイルディレクトリーやprefs.jsなどが削除されてしまうことはまずありえないことなので、Ver.50だとまともに動けないアドオンのせいで何かが起こった、ということのように思えます。

[quote="kotka"]何がいけないのでしょうか？[/quote]
アンインストール・再インストールしただけでは、プロファイルディレクトリーの中身の変更は起こりませんから、「もうめちゃくちゃ」の最大の原因は、「データフォルダのファイルを一部修正して」でしょう。
「データフォルダのファイルを一部修正して」が、再起動だけはできるようになる変更で、「Ver.50だとまともに動けないアドオン」に関しては何ら対処をしていない、ということもありそうに思えます。

「Ver.50へ自動アップデートされたら、プロファイルが存在しないというメッセージが出て起動しなくなってしまいました」の時点のプロファイルディレクトリーのバックアップはありますか？

バックアップがあろうがなかろうが、現時点で試せることは、セーフモードで起動とか、全てのアドオンをアンインストールして、どうなるかを見てみるくらい。

バックアップがないのなら、「データフォルダのファイルを一部修正して」の後からのデータでしかやりようがない。

バックアップがあるのなら、「Ver.50へ自動アップデートされたら、プロファイルが存在しないというメッセージが出て起動しなくなってしまいました」の時点のデータで、何度でも試せる。
プロファイルディレクトリーそのものはあるから、よしんば、「プロファイルが存在しないというメッセージが出て起動しない」の原因がprofiles.iniが消されたり壊されただったとしても、profiles.iniを作り直すだけで、「プロファイルが存在しないというメッセージ」の部分はスキップできる。

いずれにせよ、「データフォルダのファイルを一部修正して」で何をやってしまったのか、について、
および、今現在の状況、profile.iniの中身とかprefs.jsの中身とかプロファイルディレクトリーの中身とかそういったもの、について、
kotka さんから適切な説明がなされない限りは、「何がいけないのでしょうか？」に対しては誰もこたえられないと思います。

Ver.50へ自動アップデートされたら、プロファイルが存在しないというメッセージが出て起動しなくなってしまいました。
その後、アンインストールとデータフォルダのファイルを一部修正して再インストール。
なんとか起動はできるようになりましたが、表示できないサイトがたくさん。
Amazon.co.jpやTwitterなどが安全ではありませんとのことで接続不能。
Googleでさえも安全でないとのこと。
記憶させていたパスワードなどもなくなってしまったし、もうめちゃくちゃです。
何がいけないのでしょうか？
Windows8.1です。