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[color=blue]※質問するときは、「フォーラムの利用に関するご案内」、とりわけ「質問するときは」に目を通し、OS の種類や Firefox のバージョンといった使用環境についての最低限の情報を書き添えることをお勧めします。[/color]

ご質問を拝見しましたが、いまある情報だけではストレートな解決方法をアドバイスすることは困難です。
しかし、可能性として考えられるひとつに、実害をともなう深刻度の高い問題があるので、その点をまず指摘させていただきます。

[color=red]【最優先で確認すべきこと】[/color]
[quote="inocchi55"]「パスワードを入力してください」が定期的に出現する[/quote]
このパスワード入力ダイアログは、Firefox が出しているのは確実ですか？
杞憂であることを祈りますが、万一パスワードを盗み出すタイプのマルウェアに感染していたとしたら、そっくりな偽物のダイアログが出ているのかもしれません。
不可解なタイミングでパスワード入力ダイアログが開くような場合、真っ先に「本当に正規のダイアログか？」を疑ってください。

すでにしっかりと確認なさっているのならいいのですが、もしまだなら、このあたりの確認を最優先でやっておいたほうがいいと思います。
マスターパスワードをお使いということは会社などの法人内で利用なさっていることも考えられ、標的型の攻撃を受けている可能性がないともいえません。
まあ可能性は低いかもしれませんが、少なくとも現状の質問文からはそれを否定できるだけの材料を見出せませんし、万一そうであったときの実害の大きさを考慮して、ひとまず注意喚起させていただきます。

[b]【Firefox に問題が起こっているかどうかを調べる】[/b]
ご利用の環境条件などが不明ですが、一般的にはマスターパスワードを設定すると、ユーザーが Firefox に保存したログインパスワードが使用されるとき、マスターパスワードを求められるようになるのは、ご承知のとおりです。
そういう条件から外れた場面で、マスターパスワードの入力が求められることは、普通はありません。

その普通は起こらないことが、マルウェアがらみではなく、Firefox に障害が発生して起こっているのだとすると、次のような点検を進めてみてはいかがでしょうか。

　（1）いったん既存のマスターパスワードをリセットして、新しいものを再設定してみる
　（2）Firefox をセーフモードで起動してマスターパスワードの動作を点検してみる
　（3）新しいプロファイルを追加作成し、最低限のログインパスワードとマスターパスワードを設定して動作を試す
　（4）その他（Cookie やキャッシュまわりなど......）
―― といった動作点検をおこなうことで、問題点を絞り込めるかもしれません。次の公式サポート記事を参考にしてください。
（参考）・基本的なトラブルシューティング | Firefox ヘルプ
https://support.mozilla.org/ja/kb/troubleshoot-and-diagnose-firefox-problems

とくに、原因が Firefox 本体にある場合と、アドオンにある場合を意識しつつ、点検作業を進めてみてください。
その結果によって、次のステップが見えてくると思います。

いまの時点で気がつくのは以上です。的外れな話になっていたらすみません。

マスターパスワードを設定しているのですが、

「パスワードを入力してください」というウィンドウが、
フォームなどに、パスワードを入力する時のみに出現すればいいのですが、

以下の時にも出現してしまい、不便を感じています。
①起動直後
②ブラウズ中、フォームがなくても、時々出現する。

解決する方法があれば、教えていただけないでしょうか？
よろしくおねがいします。