すみません、お騒がせしました。
OS再起動でFirefoxを既定のブラウザに設定でき、無事解決しました。

ありがとうございました。

IE11を既定のブラウザに設定して、Firefoxで作成したショートカットをダブルクリックで表示できました。
次にFirefoxを既定のブラウザに設定しなおしてショートカットを作成しても変化ありません。

Firefoxが既定のブラウザに設定されてないような気がします。
Win10＞設定＞システム＞既定のアプリでWebブラウザはFirefoxになってます。
他に既定のブラウザの確認方法ありませんか？

既定のブラウザーは何でしょうか？
それを改めて設定しなおすとどうなりますか？

IE11で作成したものは動きます。
Firefox45で作成したものをダブルクリックすると、起動しようとグルグルが表示されるだけです。

「効かなくなった」とは具体的にはどのような症状でしょうか？

私の環境では問題なく作成できます。
それをクリックすれば、(IEが既定なので)IEが起動し、ページが表示されます。

https://support.mozilla.org/ja/kb/create-desktop-shortcut-website
上記ショートカットを作成することと、下記、
”C:\Program Files (x86)\Mozilla Firefox\firefox.exe”　サイトのアドレス
これは別の話です。

新規プロファイル、セーフモードでも使えません。
バグでしょう。

セーフモードや新規profileでも再現しますか？

Firefox 基本的なトラブルシューティング。
http://support.mozilla.org/ja/kb/Basic%20Troubleshooting
上記の事を全て着実に実行して確認。

次の方法で特定サイトのショートカットを作成して利用していたのですが、効かなくなりました。
多分、45.0からだと思います。
https://support.mozilla.org/ja/kb/create-desktop-shortcut-website

バグですか？

”C:\Program Files (x86)\Mozilla Firefox\firefox.exe”　サイトのアドレス
上を指定してショートカットを作成しても反応しません。