Windows 7 環境でも類似の問題が起こっていること、この場合 Firefox のバージョンによって問題発生が変わることのご報告が、abu さんからありました。

OS 等のシステム環境が同一で、Firefox のバージョンによって問題発生の有無が変わる場合、既存のプロファイル内に問題がある可能性がひとつ考えられます。
これまで使用してきた既存のプロファイルではなく、Firefox 39.0 用に新しいプロファイルを追加作成し、まっさらなプロファイルで Firefox 39.0 を起動して YouTube の動画再生を試みるとどうなりますか。
（参考）・基本的なトラブルシューティング | Firefox ヘルプ
https://support.mozilla.org/ja/kb/troubleshoot-and-diagnose-firefox-problems

もし、新しいプロファイルでなら Firefox 39.0 でも再生できるのであれば、プロファイルに何かしら原因となるものが潜んでいる可能性が考えられます。
新しいプロファイルにすると、既存プロファイルでは変更されていたかもしれない設定値が初期状態になりますし、キャッシュデータも過去のものは使わないようになります。アドオンをひとつも入れていない状態で正常に再生できるなら、アドオンのどれかが原因であると推測をつけられます。

面倒だとは思いますが、問題が発生しているユーザー環境で、地道に問題点を切り分ける作業をすすめ、原因を見極めていかないと、なかなか根本的な解決には到達しないように思います。

とりあえず以上です。

私もkkkさんと全く同じ状況になり、検索でこちらにたどり着きました。
OSはWindows7 Professional SP1 32bitsです。

youtubeにアクセスするとhtml5動画プレーヤーが選択され
いつまで経っても再生されません。
試しにfirefoxを38.0.5にバージョンダウンしてから
youtubeにアクセスするとflash playerで正常に再生できました。
再びfirefoxを元の39.0に戻して
youtubeにアクセスするとhtml5動画プレーヤーが選択され
同じくいつまで経っても再生されません。
どうやら私の環境ではhtml5動画プレーヤーが正常に動作しなかったようです。
結局YouTube Flash Video Playerというfirefoxのアドオンを入れて再生することにしました。

（前置き）
公式のアナウンスでは、Firefox のシステム要件は次のように書かれています。
https://www.mozilla.org/en-US/firefox/39.0/system-requirements/

実際には、記載外の OS やハードウェア条件でも動作するケースはありますし、記載内の条件でも正常に動作しないケースはあります。
ただ、いちおう公式に明示されていることなので、目安にしてください。

（本題）
ストレートに原因と対策がわかるわけではありませんが、現状で起こっている症状を起点に、問題点の切り分けを進めてみてはいかがでしょう。

同じネットワーク環境で、Windows Server 2008 R2 SP1 以外の OS（例えば Windows 8.1）を使えるなら、そこに Firefox 39.0 を入れ、YouTube の動画が正常に再生できるかどうかを比較・検証することで、OS のバージョンに依存した問題かどうかを、ある程度切り分けられるのではないでしょうか。

同様に、Windows Server 2008 R2 SP1 に Firefox 38.1.0 ESR など 39.0 以外の Firefox を入れ、YouTube の動画が正常に再生できるかどうかを比較・検証することで、同一 OS 上における Firefox のバージョンの違い起因する問題かどうかを、ある程度切り分けられるかもしれません。

すでにご覧になっているかもしれませんが、「動画が再生できない」の一般的なヘルプ記事は、次を参考にしてください。
（参考）・動画や音声が再生されない | Firefox ヘルプ
https://support.mozilla.org/ja/kb/fix-common-audio-and-video-issues


比較のために当方の動作状況を書いておきます。
Windows 8 Pro 64bit / 7 Home Premium 64bit SP1 の２つの OS に入っている Firefox 39.0 / 38.1.0 ESR の組み合わせのすべてで、HTML5 Player でも、Flash Player (18.0.0.209) でも、YouTube の動画は正常に再生できています。

ストレートな解決策でなく申し訳ありませんが、とりあえず以上です。役に立たない話だったらすみません。

Firefoxバージョン　39.0
OS　Windows Server 2008R2　SP1


先週、Firefoxを更新したあたりから、youtubeで動画が再生できなくなりました。

既定のHTML5プレイヤーで再生した場合は、画面の中央で輪が回っている表示のまま動画が始まりません
アドオンを使い、FlashPlayerで、再生した場合は、動画が始まって１秒ほどで「エラーが発生しました しばらくしてからもう一度お試しください」
と表示が出て、何度時間をおいて試しても再生できません。

各アドオンやプラグインの更新や停止、FlashPlayerのアンインストールとインストール（ブロックされていない最新のもの）
セキュリティソフトの停止等を試しましたが、状況は変わりません。

IEやクロームで再生できることは確認済みです。

上記現象で検索したところ、youtubeのヘルプフォーラムで同様の現象の報告があるのを見つけました。
解決策や原因は提示されていませんでしたが、こちらも、OSが2008R2SP1でしたので、
OSの種類が関係しているのかもしれません。


原因や解決策をご存知でしたら教えていただきたいです。





以上、宜しくお願いします