自己解決致しましたので報告致します。

Firefoxのオプション設定のプライバシーの項目にて
　履歴：Firefoxに履歴を一切記憶させない
としている設定を
　履歴：記憶させる履歴を詳細設定する　→　「常にプライベートブラウジングモード」のチェックを外す
に変更しましたところPocketボタンが使える様になり、マイリストへの登録ができる様になりました。

お騒がせしまして申し訳ございませんでした。

pal様　ご返信頂きましてありがとうございました。

ご提示頂きました参考情報を確認させて頂きました。

Gigazineの記事ですが、記事途中にある"「最初のアイテムを保存」というダイアログが表示されるので、Pocketボタンをクリック。”のところでは、私は前述のとおりツールバーのPocketボタンではなく「試してみる！」の方をクリックしておりました。
記事に従いツールバーのPocketボタンの方をクリックしてみましたところ、記事にある様な画面中央に「Pocketボタンを見つけましたね！」というダイアログは表示されず、Pocketのログインを促す画面が表示（私が最初に投稿した状態遷移の①と同じ）されました。
記事とは異なる動作となっている為、設定や環境に問題があるのかも知れません。

Firefoxのオプション設定のプライバシーの項目にて
　トラッキングの拒否をサイトに通知する→チェック
　履歴：Firefoxに履歴を一切記憶させない
としておりますが、Pocketを使用するにあたり問題がありますでしょうか。

参考まで。
http://gigazine.net/news/20150603-firefox-pocket/
http://tadabito.hateblo.jp/entry/2015/0 ... 6%E3%81%97

当方、Windows7pro(32bit)、Firefox(32bit) 38.0.5（アドオンとしてTAB Mix Plus 0.4.1.8を導入）にて使用しております。
デスクトップPCから使用しています。

再現確認の為にFirefoxを立ち上げ直後（ホーム画面（Mozilla Firefoxスタート画面）のみ表示）にて行いました。

①Mozilla Firefoxスタート画面
ここでツールバー上のPocketのアイコン（この時は黒）をクリックするとPocketのアイコンが黒から赤に変わり、ログインを促す画面が表示されます。
ここでログイン画面の下側にある「アカウントをお持ちですか？」から「ログイン」をクリックし、のPocketのログイン画面が新しいTABで表示されます。

②Pocketのログイン画面
ここで「Googleでログイン」をクリックし、Googleのログイン画面が新しいTABで表示されます。

③Googleのログイン画面
Googleアカウント情報を入力しログインを進めると、
　▼Pocket が次の許可をリクエストしています:
　　　　オフライン アクセスが可能
と表示されるので「承認する」をクリック。

④
③の操作後②のPocketのログイン画面のTABがPocketのマイリスト画面に切り替わるが画面全体が暗く、「最初のアイテムを保存」を紹介する表示のみされ、ここで「試してみる！」をクリック
③のGoogleのログイン画面のTABはGoogle playの画面に切り替わるがPCからのアクセスの為そのまま放置

⑤お試しの対象ページの「LIG BLOG」が新しいTABで表示されます。
この画面表示中のツールバー上のPocketのアイコンは黒いままです。
ここでツールバー上のPocketのアイコンをクリックすると①と同じログインを促す画面が表示されます。
①と同様に「アカウントをお持ちですか？」から「ログイン」をクリックすると既にログイン中の為②～③の工程もなくすぐに④と同じがPocketのマイリスト画面が新しいTABで表示されます。※②および④のTABとは別

⑥
新たに表示された⑤のマイリスト画面でも④と同様に画面全体が暗く、「最初のアイテムを保存」を紹介する表示のみされ、ここで「試してみる！」をクリックと④～⑥がループして抜ける事ができません。
※操作の度にPocketのマイリスト画面とお試しの「LIG BLOG」が新しいTABで追加されていきます。

恐れ入りますが操作上の誤りがございましたらご指摘願います。
また、設定等のアドバイスがございましたらお教え願います。