自己解決です。

WireSharkでキャプチャしたら、更新時に
http://download.mozilla.org/?product=firefox-31.6.0esr-complete&os=win&lang=ja&force=1
を見に行っていることが判明しました。

故に
http://download.mozilla.org/
をプロキシ許可することで解消しました。


> 串刺しでできるできない以前に、古すぎですので、きちんと最新のもの(手動で)入れ替えましょう。
失礼しました。
背景を記載しなかった自分が悪かったです。
PCが100台近く同じ環境下にあり、それら全てが更新できていませんでした。
その場しのぎの手動対応ではなく、恒久対応が必要でした。

以上、宜しくお願い致します。

about:configで確認できます。
https://aus4.mozilla.org/update/3/%PRODUCT%/%VERSION%/%BUILD_ID%/%BUILD_TARGET%/%LOCALE%/%CHANNEL%/%OS_VERSION%/%DISTRIBUTION%/%DISTRIBUTION_VERSION%/update.xml
です。

[quote]利用FireFoxバージョン： Firefox 33.3.1
Firefox 31.2.0esr[/quote]
串刺しでできるできない以前に、古すぎですので、きちんと最新のもの(手動で)入れ替えましょう。

お世話様です。
プロキシサーバを導入してからセキュリティの更新が出来なくなりました。

利用OS：Windows7 Pro SP1
利用FireFoxバージョン： Firefox 33.3.1
Firefox 31.2.0esr

【設定状態】
[オプション]-[詳細]-[更新]-[FireFoxの更新]では以下にチェックが入っています
■更新を自動的にインストールする
■更新によりアドオンが無効化される場合は警告する
■更新のインストールにバックグラウンドサービスを使用する

【状況確認】
[オプション]-[詳細]-[更新]-[FireFoxの更新]-[更新履歴を表示]
で履歴を確認しました。
https://support.mozilla.org/ja/kb/advanced-panel-accessibility-browsing-network-upda#w_uiiualci

【切り分け】
・プロキシ経由で接続
　　→「状態：失敗しました(原因不明)」
・プロキシを経由しない接続
　　→「状態：更新を正常にインストールしました」

【おおよその原因】
プロキシサーバで更新先URLをブロックしている可能性

【知りたいこと】
プロキシ設定業者に該当URLの通信許可を出したいのですが、URLがわかりません。
提示されているサイト、もしくはご存知の方がいらっしゃいましたら教えて頂きたく存じます。

以上、お手数ですが宜しくお願い致します。