追記です。

先に挙げたブロックリストから、Flash Player Plugin 13.0.0.259 が除外されたようです。
お使いのプロファイルにあるブロックリスト（blocklist.xml）が更新されれば、Flash Player の ESR 最新版は、通常の最新版と同様に click-to-play の強制適用から外れると思います。

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以下は、 click-to-play に関する補足です。
実際に Flash Player 13 を入れて試してみました。ブロックリストから除外される前の状態です。

テスト環境は次のとおり。
OS : Windows 7 Home Premium SP1 (64bit)
CPU : Intel Celeron 1000M @ 1.80GHz
Graphics : Intel HD Graphics
Memory : 6 GB
Browse : Firefox 31.3.0 ESR
Flash Player は、現時点の最新バージョンである 16.0.0.235 をアンインストールし、あらためて 13.0.0.259 をインストールしました。
（上記のスペックで、Flash Player 16.0.0.235 は問題なく動作していました。）

Firefox 31.3.0 ESR を起動し、アドオンマネージャを見ると、Flash Player 13.0.0.259 が認識された上で、「Shockwave Flash は安全ではありません。更新してください」の警告が赤字で付記されています。
プラグインの設定では、[実行時に確認する] となっていて、あとは [無効化する] しか選択肢がなく、[常に有効化する] が存在しません。

この状態を確認後、テスト対象として YouTube の動画をランダムに選び、いくつか再生してみました。

一番最初の動画ページを開くと、プレーヤーの画面には click-to-play の確認が出ます。
「このプラグインは安全ではありません。更新してください。Adobe Flash を有効にします」

このとき、
https://support.mozilla.org/ja/kb/why-do-i-have-click-activate-plugins
に書いてある手順で、ロケーションバー（URL バー）の左端に現われる赤いプラグインアイコンをクリックし、[常に許可する] をクリックすると、プラグインが読み込まれて動画の再生が始まりました。

その後、別の動画ページを開くと、click-to-play の画面を経ず自動的に動画再生が始まりました。ランダムに選んだ他の動画ページでも同様の結果になりました。

いったん Firefox を終了し、再起動後に YuoTube にアクセスしてランダムに動画ページを開いてみましたが、いずれも click-to-play を経ず自動的に動画を再生できました。（テスト環境を作る前の、Flash Player 16.0.0.235 の動作と同等です。）

当方では、サイトごとの許可設定は可能で、一度許可したサイトでは、click-to-play の制限がかかる前の、[常に有効化する] の状態で Flash Player Plugin が自動的に動作しました。

これがうまく働かないとすると、Firefox のサイト・パーミッションの設定がおかしくなっているのかもしれませんね。
ありがちなのは、終了時に履歴を消去する設定を有効にしていて、その対象として [サイトの設定] を選択している場合でしょうか。せっかく例外を指定したのに、Firefox を終了するごとにリセットされ、click-to-play が強制的に適用されるようになってしまう ―― というパターンです。

とりあえず以上です。

横から失礼します。

[quote="spanak"]Firefox ESRの最新版31．3に更新したところ、
Flashがブロックされるようになってしまいました。
（Firefoxはxxの古いプラグインAdobe Flashの実行をブロックしましたというメッセージ）
しかし、今月Flashの13.x系統を最新バージョンにしたばかりです。[/quote]
Firefox も、Flash Player も、ESR 版をお使いということは、法人内でのご利用でしょうか？

すでにご指摘があるように、、現時点で Flash Player の 13.x 系列は、16.0 系列を利用できない事情があるユーザー（主に法人組織）向けに提供された、安定志向の拡張サポート版です。
この時点での最新バージョン（13.0.0.259）は、通常の 16.0.0.235 と同等のセキュリティ・フィックスは適用されています。ただし、新機能やバグ修正には対応していません。
（参考）・Adobe Flash Playerの配布　＞　拡張サポート版
http://www.adobe.com/jp/products/flashplayer/distribution3.html
（補足）
「低スペックPC向け」というのは何かの勘違いでしょう。Flash Player 13 の正式リリースは 2014 年 4 月ですし、現行の Flash Player 16 と比較して、ハードウェア要件に大差はないと思います。

一方、Mozilla のブロックリストは現在、次のようになっています。
（参考）・ブロックされているアドオン
https://addons.mozilla.org/ja/firefox/blocked/

どうしても 13.0 系列の Flash Player を使わざるを得ない場合は、下記の公式サポート記事を参考に、サイトごとに許可設定をしてみてください。以後、許可サイトでは自動で実行されるようになると思います。
（参考）・プラグインをクリックして有効化する必要があるのはなぜか
https://support.mozilla.org/ja/kb/why-do-i-have-click-activate-plugins

最初の許可設定が面倒かもしれませんが、利便性と安全性の折り合いをつけると、このあたりが落としどころかと思います。

とりあえず以上です。的外れな話になっていたらすみません。

Flash Player 13.0.0.259は、ブロックされました。
https://addons.mozilla.org/ja/firefox/blocked/p794

Flash Player 13.xは、低スペックPC向けではなく、Extended Support(継続サポート版)です。

Flashは前に最新版に更新したところ、ニコニコ動画などでトラブルが絶えなかったので、
低スペックPC向けの13.x系統の最新のバージョンを使用していました。
貼っていただいたurlの情報はすべて試した上でやはりダイアログは出てしまいます。
（某掲示板でも何人か同じ症状の方がいらっしゃるようで）
非常に残念ですが、Flashのバージョンを16にしました。
まだ動画サイトは試していないのですが、通常のFlashのページでいちいち許可を押すのも面倒なので…。
動画サイトでまたトラブルがあったら、別のブラウザを試すというのも検討してみます。

余計なお世話かもしれませんが、
Windows 7なら、Flash　16が普通に使えます。
なぜ13系列を？


以下をやってもダメですか？
https://support.mozilla.org/ja/kb/why-do-i-have-click-activate-plugins#w_cuceauacchacuiiuauaoaeuooiuiaoaoaian

もしくは、以下、「常に有効化する」を。
https://support.mozilla.org/ja/kb/use-plugins-play-audio-video-games#w_cuceauacchaggaai

Firefox ESRの最新版31．3に更新したところ、
Flashがブロックされるようになってしまいました。
（Firefoxはxxの古いプラグインAdobe Flashの実行をブロックしましたというメッセージ）
しかし、今月Flashの13.x系統を最新バージョンにしたばかりです。
13.x系統だと最新と見なされないのでしょうか？
Flashを使っているページでいちいちクリックして表示するのは非常に面倒です。
何か方法はないのでしょうか。