もうご覧になっておられないかもしれませんが......。

サイト側の仕様も影響するのかもしれませんが、いちおう標準的な設定で Firefox を使っている限り、アップロードサイトの [参照] ボタンで開くダイアログは、前回開いたディレクトリを保持するようになっているはずです。
当方の Windows XP SP3 上にある Firefox 27.0.1 は、複数のアップロードサイトでそれぞれ別々に前回開いたディレクトリを、次回もサイトごとに別々に開くよう動作していますし......。
それが特定の過去バージョンでしか機能しないということは、カスガ さんの環境条件のどこか（とくにプロファイルまわり？）に問題が起こっている可能性が高いのではないでしょうか。

Firefox を再インストールされたとき、これまで使っていたプロファイルはどうなさっていますか？
まったく新規にプロファイルを作成し、素のままで動作を確認したとき、やはりご質問のような問題が起こるのなら、ぼくにはお手上げかもしれません。

しかしくり返しますが、もし同一のプロファイルを、バージョン 21.0 とそれ以降の複数のバージョンで行ったり来たりして使い回しておられるなら、つまり下記のような流れをたどっているとしたら ――、
21.0 -> 22.0 にアップグレードするも不具合発生 -> 21.0 に戻す -> 23.0 にアップグレードするも不具合発生 -> 21.0 に戻す -> 24.0 にアップグレードするも不具合発生 -> 21.0 に戻す　………　-> 27.0 にアップグレードするも不具合発生 -> 21.0 に戻す ……
―― そういう使い方自体がプロファイルに不具合を発生させている（そのつど悪化させている）可能性があります。

リセットは、既存プロファイルからいくつかのデータを機械的に引き継ぎますので、引き継いだデータに問題があれば、その不具合も引き継いでしまいます。

ですから、まっさらのプロファイルを作り、それで Firefox を起動することで素の状態の動作を試すことができ、より根源的に問題点の切り分けをおこなえます。
プロファイルは複数を並存させることができますので、現行のプロファイルを残したまま新規にプロファイルを作成して、両者の動作を比較することができます。
「Firefox 27.0.x 用の新規プロファイルを作成し、それで最新の Firefox 27.0.x を動かして、問題が再現されるかどうか確かめてみてはいかがでしょう」と提案させていただいたのは、そういう意味です。
レジストリ云々は、それらの確認を済ませてからでないと、本質的な切り分けにはならないと思います。

（補足）
ご承知とは思いますが、21.0 のような古いバージョンには、最新バージョンでは修正されている脆弱性や不具合がそのまま残っています。
どうしても旧バージョンを使わざるをえない場合、旧バージョンを使うことで保たれる利便性と、旧バージョンを使うことで犠牲になっている安全性その他の要件があることを理解し、運用に際しては普通以上に注意を払われるようお勧めしておきます。

サイトの [参照] ボタンで入力される欄に、あらかじめ開いたウィンドウから目的のファイルをドラッグ＆ドロップしても同じことができるはずです。
目的のウィンドウを開いておく煩わしさはあるかもしれませんが、一度開いておくと [参照] ボタンを押すごとに毎回目的の階層までたどる手間は回避できます。任意のディレクトリからアップロードファイルを選択する方法としてはそういうやり方もありますので、参考まで。

根本的な解決に役立てなくて申し訳ありませんが、ぼくからは以上です。

詳細なご説明をありがとうございました。

再インストール、設定のリセット、「オプション＞プライバシー＞履歴」の部分の確認等を行いましたが、
やはり最新（2/16現在、「27」）のバージョンでは、毎度「Ｕｓｅｒ」というフォルダまで戻ってしまい、
前回表示のフォルダを記憶できない模様です。

設定をリセットし、アドオンをゼロにした状態でも変わらない為、アドオンの干渉では無いようです。

オプションのプライバシーの部分も、再インストール後の何も触っていない「履歴を記憶させる」のままでも
やはりフォルダ部分は記憶してくれません。

毎度のごとく、27から旧バージョン（21）に戻しますと、こちらの希望通りに前回フォルダが開きます。
22以降のすべてのバージョンで試しましたが全てダメで、なぜか２１以前のバージョンだと不具合が出ません。


原因の切り分けとしては、おそらくレジストリの何かがおかしいのであろうと思いますが、
正直、私の知識ではレジストリの中から不具合部分見つけるのは難しいです。
誠に残念ですが、ＯＳの切り替えまではこの状態で使い続けたいと思います。

いろいろとご指南頂き、誠にありがとうございました。

横から失礼します。

aides さんが紹介された過去トピックに、ぼくがレジストリまわりのことを書き込んでいる投稿がありますので、そのへんの責任を感じてコメントさせていただきます。

まず、出発点の確認です。
Firefox 本体には、「参照ボタン」という名称のボタンは存在しません。
「参照ボタン」とおっしゃっているのは、Firefox の UI ではなく、HTML の input 要素の定義に基づいてアップロードサイトのコンテンツとして表示される Web ページ内の [参照] ボタンのことですよね。

次に、この [参照] ボタンの動作です。
一般に、Web ページ内の [参照] ボタンを押して開く [ファイルのアップロード] ダイアログの初期ディレクトリは、そのサイトを初めて使う場合は [デスクトップ] などシステムの初期値になると思います。
ここで任意のディレクトリにあるファイルを選択すると、その場所がキャッシュされ、次回に同じサイトで「参照ボタン」を押すと前回のディレクトリを開くと思います。
最近の Firefox の素の状態では、そういう動作になるはずです。

ただし、ユーザーが履歴・キャッシュの保存を無効にして Firefrox を使っているとか、Firefox の終了時にそれらを自動消去する設定にしているとかですと、Firefox を終了・起動するごとに各サイトのディレクトリ情報は常に初期化されるので、ご質問のような状況になると思います。

カスガ さんが、どのような設定内容、運用条件で Firefox をお使いなのかわかりませんが、さしあたり [オプション] -> [プライバシー] -> [履歴] の設定内容を確認し、履歴を消し去らないようにしてみてはいかがでしょうか。
それでも問題が改善されないなら、アドオンが干渉しているか、プロファイルに何らかの不具合が起こっているのかもしれません。次の公式サポート記事を参考にしてみてください。
（参考）
・基本的なトラブルシューティング
https://support.mozilla.org/ja/kb/troubleshoot-and-diagnose-firefox-problems

（補足１）
各サイトごとの動作条件やその設定、例えば本件のアップロードに関する情報は、プロファイルフォルダ内にある content-prefs.sqlite というファイルの中に、"browser.upload.lastDir" としてサイトごとにパス情報が保持されているようです。
ご質問の文面で気になるのは、かなり古いバージョンのベータ版（21.0b7 / 2013年5月ごろ）をお使いになっている点です。
同一のプロファイルを、Firefox の古いバージョンと最新バージョンで行き来して使いまわすと、プロファイルに不具合を起こしやすくなります。
Firefox を順番にバージョンアップしていく分にはデータの引き継ぎが考慮されていますが、異なる複数のバージョン間（とくに開発版であるベータ）で頻繁に逆戻りしたりすると、変更された仕様や追加・修正された機能の間を行き来することになるため、プロファイル内のデータに不整合が起こりやすくなるわけです。
つまり、本件に関しては content-prefs.sqlite が破損している可能性も考えられると思います。
「できれば最新バージョンで使いたい」ということなら、Firefox 27.0.x 用の新規プロファイルを作成し、それで最新の Firefox 27.0.x を動かして、問題が再現されるかどうか確かめてみてはいかがでしょう。
その上で、既存プロファイルから新規プロファイルに、ブックマークやパスワードなど必要最小限のデータだけを引っ越すという方法も考えられるのではないでしょうか。

（補足２）
過去トピックの件について。
過去トピックの当時の Firefox は 3.6 系でした。もし Firefox の仕様が 3.6 のころから変わっていないのなら、当時も Windows レジストリは単に OS が保持している履歴の域を出ない話で、Firefox の動作には直接影響していなかったのかもしれません。
いま Firefox の過去バージョンと現行バージョンの動作を比較・検証する余裕はまったくないのですが、少なくとも現行バージョンの Firefox（現時点で 27.0.1）に関しては、上述のように履歴保存を有効にした設定（デフォルト）で使っている限りは、サイトごとの情報をプロファイル内に保持しているはずです。

質問者の利用条件に不明な点が多いので具体的なことを申し上げられなくてすみませんが、とりあえず以上です。

[quote="aides"]* [url=http://forums.mozillazine.jp/viewtopic.php?t=11209]MozillaZine.jp フォーラム • トピック - ファイルアップロードの際、毎回同じフォルダが開いてしまう[/url]

＞仕様は同じ筈です。
＞レジストリに不具合抱えてる可能性が高いと思われます。[/quote]


ご回答ありがとうございます。

FIREFOXのバージョンアップがある度、今回は大丈夫かな？と試しているのですがやはりダメで、
仕方なく異常の出ない「２１」に戻している状況です。

「レジストリに不具合」とご指摘頂きましたが、具体的にレジストリを修復する方法などありますでしょうか？
もしくはFIREFOX関連のレジストリを一旦リセットし、再度入れなおす手順などはあるでしょうか？

よろしくお願いいたします。

* [url=http://forums.mozillazine.jp/viewtopic.php?t=11209]MozillaZine.jp フォーラム • トピック - ファイルアップロードの際、毎回同じフォルダが開いてしまう[/url]

仕様は同じ筈です。
レジストリに不具合抱えてる可能性が高いと思われます。

ＯＳはＸＰです。

ファイルをアップロードする際、「参照ボタン」を押すのですが、前回開いたフォルダを開いてくれません。
常に「User」などのフォルダから辿って行かなければなりません。
なにがおかしいのでしょうか…

ちなみに、最新のバージョンではダメですが、旧バージョンである「21.0b7」なら
前回開いたフォルダを記憶してくれるので、そちらを使っています。
どうやら「22」以降、参照ボタンのデザインが変わり、対応してくれなくなったようです。

できれば最新バージョンで使いたいのですが、上記不具合により更新を躊躇しております。
改善方法をご存じの方はいらっしゃいますでしょうか。