遅ればせですが、横から失礼します。

Cai さんからもアドバイスがあるように、一番最初の投稿（#p50318）に添付された画像にある [オプション] -> [Sync] の表示状態は、Firefox Sync がセットアップされていないときの初期画面です。
Firefox Sync が確実にセットアップされ、ずっと同期を実行できていた Firefox で、その画面が表示されることは通常はありえません。
それでもその画面が表示されるのだとしたら、どこかに異常が起こっていると考えられます。

以前に Sync をセットアップされたのがいつかは存じませんが、そのときの Firefox で使っていたプロファイルを正常に引き継いで 23.0.* までアップグレードしてきたのなら、Sync の設定も引き継がれているはずですが、途中で PC を引っ越したとか、プロファイルを作り変えたとか、プロファイル内部を手動操作したようなことがあると、Sync のセットアップ情報などの設定値が不適切な状態になっていて、未セットアップとして認識されている可能性はありえます。

そのあたりの事実経過がよくわからないのですが、現状の Firefox の次の箇所をチェックしてみることで、Sync の状態をある程度把握できると思います。

（A）about:config から、services.sync. 関連の状態を調べてみてください。

例えば、services.sync.lastversion の値をみると、Firefox 23.0.1 で Sync がセットアップ済みなら 1.25.0 の値になり、全体が太字になっていると思います。
Firefox 24.0 なら、この値は 1.26.0 になると思います。
Sync が未セットアップなら、firstrun の初期値になっているはずです。他の services.sync. 関連の設定項目も、未セットアップの状態ではすべて初期値になっていると思います。

合わせて、services.sync.clusterURL や services.sync.***.syncID などの設定値が存在するか、存在するならその値がどうなっているかも点検してみてください。
services.sync.clusterURL は、セットアップされた Sync サーバの URL が記されています。
services.sync.***.syncID は、同期対象の項目ごとの ID です。大文字・小文字を区別した 12 文字のランダムな英数記号で構成されています。

もし、一度セットアップしたものが何かの事情でおかしくなっている場合は、上記 services.sync.lastversion の値にバージョンナンバーが入ってはいるが、services.sync.clusterURL や services.sync.***.syncID など存在しないか、値が入っていないケースがあると思います。

（B）オプション設定の [セキュリティ] -> [パスワード] の [保存されているパスワード] ボタンから開くパスワード管理画面で、次の [サイト] 項目を確認してみてください。

chrome://weave(Mozilla Service Password)　……（x）
chrome://weave(Mozilla Encryption Passphrase)　……（y）

Sync が正常にセットアップされていれば、上の２つの項目が存在するはずです。
（x）と（y）の [ユーザ名] は同一で、Sync をセットアップしたときに自動的に付与されたユーザ名です。
（x）の [パスワード] は、Sync サーバにログインするためのパスワードです。
（y）の [パスワード] は、リカバリキー（Sync キー）です。

（A）とその関連項目の情報は、プロファイル内の prefs.js に保管されています。
（B）のパスワードは、プロファイル内の signons.sqlite に暗号化して保管されており、これを解読して読み書きするキーは key3.db です。
Firefox のパスワード管理は、常に signons.sqlite と key3.db がペアで働くことに留意してください。
このどちらか（あるいは両方）に問題が起こっていると、パスワード管理は正常におこなわれず、結果として Sync の管理にも異常が起こります。

（A）（B）の各項目が適正と思われる状態で存在するなら、その Firefox で Sync がセットアップされているとみなせます。その上でご質問のような現象が起こるとしたら、もっと別のところに問題が起こっているのかもしれません。

（A）（B）のどちらか一方、または両方が適正でないなら、その Firefox で Sync は正常に動作していないと思われます。
この場合、正常なプロファイルのバックアップでもない限り、一度セットアップした Sync を元の状態に復旧するのは困難だと思われます。

（別法）
Firefox Sync を、単一のデバイスのバックアップ目的に使用するケースもあると思いますが、複数のデバイス間でのデータ共有・同期に使うケースのほうが多いと思います。
ひとつのデバイスで問題が起こった場合、別のデバイスから対処できる可能性もあります。（条件によるので、あらゆることが 100 ％できるとはいいませんけど...。）

（補足）
しばしば、「リカバリキー（Sync キー）を失くした、忘れた」という Sync ユーザーがおられますが、Sync をセットアップしたときにリカバリキーの重要性についての示唆があったはずですし、セットアップ後にリカバリキーを確認するメニューにも保存や印刷のメニューがあり、リカバリキーの重要性について案内されています。
ご質問の案件が解決するにしろ、しないにしろ、今後も Sync を使うのなら、リカバリキーの保全については十分に注意を払われるようお勧めしておきます。
また、リカバリキーに限りませんが、最大限の安全性を確保するため Sync 全体の動作はかなり緻密な管理の元に実行されているようです。このことも頭の隅に置いておくといいかもしれません。

解決策ではなく、現状がどうなっているかを点検する方法のアドバイスにすぎませんが、とりあえず以上です。
的外れな話だったらすみません。

アカウントの管理もリカバリーキーの生成も、Sync をセットアップ済みの Firefox からでないと行えません。
alpha さんの場合には、オプションの Sync タブの様子を見る限りでは Sync が PC 上の Firefox でもセットアップ済ではないのではないでしょうか？あるいはセットアップされていたものが何らかの理由で解除されてしまった可能性も考えられます。

セットアップされた Firefox のプロファイルがどこにもないようでしたら、アクセス不可能な既存の Sync アカウントは放棄して(パスワードかリカバリーキーがないと削除もできません)、新しいアカウントを作成するしかないと思われます。

palさま

早速のレス、有難うございます。


[本題]
リカバリーキーがわからなくなったということですが、ご自身で提示したページの「新しいリカバリキーを生成する方法」の項からリンクされている「Firefox Sync の同期データを置き換える」はお試したがダメだったということでよいのでしょうか？


その通りです。
ご呈示頂いたページも参考にして3.の作業で表示されたウインドウが以下のものになるのですが、ここには『4.すでに Firefox Sync アカウントを持っています の下の接続ボタンをクリックします。 』で指示されているるのですが、その接続ボタンが表示されないのです。




ですのでこのまま『アカウントを持っています』をクリックすると以下の画面となり、手詰まりな状況です。





以上なのですが、こちらの操作がどこかで間違っているのでしょうか・・・？

「他の端末を Sync アカウントに接続する」のほうでは、添付された図と同じです。
段階(手順)によって異なるかと。

[本題]
リカバリーキーがわからなくなったということですが、ご自身で提示したページの「新しいリカバリキーを生成する方法」の項からリンクされている「Firefox Sync の同期データを置き換える」はお試したがダメだったということでよいのでしょうか？

ほか参考
https://support.mozilla.org/ja/kb/ive-l ... cgaeaaauaa

初めてこちらに書き込みをさせて頂きます。
Firefox 23.0.1を使用しています。

Syncを利用する際に必要なリカバリーキーを失念してしまったため、

https://support.mozilla.org/ja/kb/how-d ... nc-account

にある方法でアカウント管理を行おうとしたところ、当方の環境ではSyncタブを開くと



このような項目しか表示されずアカウントの管理が行えません。
以前はサポートページにあるような内容のタブだったと記憶しているのですが、最新バージョンではこれでよいのでしょうか？

現在新しく購入したAndroid端末と同期を取りたいのですが、リカバリーキーが判らないため出来ない状況です。
どなたかお心当たりのある方はいらっしゃいませんでしょうか？