「固定キー機能」はWindows 7にもあります。
https://121ware.com/qasearch/1007/app/servlet/relatedqa?QID=011814

「キーボード操作で「$」などを入力する場合、「Shift」キーを押しながら「4 う」キーを押します。このように同時に複数のキーを押す場合、固定キー機能を有効にすると片手で操作できます。」
と書かれている通りの操作になっている(操作ができる)状態であれば、それは正常動作であり、「何かFireFoxの設定がおかしくなってしまった」ということではありません。

同様の現象が私の環境でも発生しています。

環境は以下の通りです。
OS：Windows8.1
FireFox45.0.2

なんとなくですが、作業途中に「Ctrl」キーを長押ししてしまうことがあり、Windows8.1では「固定キー機能」が働いてしまい、そのせいで何かFireFoxの設定がおかしくなってしまったのかもしれないと推測しています。

[size=12][color=blue]※質問するときは、[url=http://forums.mozillazine.jp/faq.php?mode=forum]フォーラムの利用に関するご案内[/url] 、とりわけ [url=http://forums.mozillazine.jp/faq.php?mode=forum#f0r2]質問するときは[/url] に目を通し、OS の種類だけでなく Firefox のバージョンなど使用環境についての最低限の情報を書き添えることをお勧めします。[/color][/size]

ストレートな解決策を知っているわけではないのですが......。

このフォーラムの検索機能を使って探してみると、過去記事には文字入力に関するトピックがいくつかあります。
半角英数文字しか入力できないといった事例は過去にもありましたが、「全角は入力できるのに、半角ローマ字は入力できない」という事例はちょっと見つけられませんでした。（見落としがあったらすみません。）

ブラウザにおける文字入力の場面は、
（a）ロケーションバーや検索バー、文字入力が必要な設定項目
（b）Web コンテンツ内のテキストボックス、テキストエリア
（c）プラグインが関与したコンテンツのテキストボックス、テキストエリア
―― などがあります。
ご承知かもしれませんが、例えば（c）では、Flash プラグイン側の不具合が原因で、Flash コンテンツが提供するテキストボックス内に正常に文字入力ができない事例が過去にありました。
monomi さんのところでは、どういう場面で、どの要素への文字入力で不具合が発生しているのでしょうか。

[quote="monomi"]Windowsを再起動すれば直りますが、Firefoxを終了・再起動しただけでは直りません。
また、Firefoxをセーフモードで起動したときも同様に直りません。[/quote]
直る・直らない、というのは、Firefox で文字入力の問題が発生したとき、Firefox の再起動やセーフモード起動をしても改善しないという意味ですか？
もしそうなら、IME 側かシステム側、あるいは干渉している他の何かに問題がありそうな印象を受けるのですか......。
Firefox を再起動やセーフモード起動すれば、その時点では Firefox 自身、および IME の連携はリフレッシュされると思うのですが、それでも問題が直らないというのは、問題を抱えたままの "何か" が残っているということではないのでしょうか。
で、システム全体を再起動するとその "何か" を含めてリフレッシュされ、当面は問題が起こらない、と......。
一方、他のブラウザでは類似の問題がまったく発生していないのであれば、Firefox 側にも何らかの要因がある可能性も捨てられません。

例えば、このサイトのこの部分に文字入力しようすると必ず問題が発生する ―― といったことを具体的に提示していただけるなら、他の方が検証しやすくなり、問題点を絞り込むための情報を得やすくなると思います。
あるいは、特定の入力操作をおこなった後に発生しやすいとか、あるソフトウェアを同時に起動していると起こりやすいとか、何か手がかりになる情報はないでしょうか。
しかし、発生が不規則で、確実性のある事例がつかめない、発生機序の推論も立てられないなら、原因を絞り込むのはちょっと厄介かもしれません。

Firefox のセーフモードはお試しのようですが、新しいプロファイルを追加作成し、それでの動作は試されましたか。もしまだなら一度試してみてください。

ちなみに、当方は現在 Windows XP SP3 + Firefox 23.0.1 / 17.0.8 ESR ですが、これら現役バージョンはもちろん過去のバージョンにさかのぼっても、ご質問のような文字入力の動作不良に遭遇したことは一度もありません。IME はそのときの Windows OS 標準の MS-IME です。

役に立たない話で申し訳ありませんが、とりあえずの応答まで。

Windows8でFirefoxを利用していると、ときどき文字入力変換に不具合が生じます。
使用しているIMEソフトはATOKが主ですが、MS-IMEでも同様の問題が起こります。

不具合は
・全角は入力できるのに、半角ローマ字は入力できない。
・BackSpaceが全く効かない。

Windowsを再起動すれば直りますが、Firefoxを終了・再起動しただけでは直りません。
また、Firefoxをセーフモードで起動したときも同様に直りません。

どこか問題があるのでしょうか。