偶然的通行人様、ご意見ありがとうございます。
"既定のブラウザ"設定については、一旦Operaを規定のブラウザにした後、Firefoxに戻してみましたが、不具合の改善はみられませんでした。
ものは試しに、一旦-no-remoteオプションをつけて起動後、通常起動し直しても効果はありませんでした。
仕方がないので、FirefoxのVer.を13.01に戻してみたら、現象は発生しなくなり、正常になりました。Ver.14に何らかの問題があるように思えます。

Thunderbird といった特定のアプリケーションに限らず、URL リンクからブラウザを呼び出す機能をもったアプリケーションで一様に起こる問題ということでしょうか？

ご存知のように、この種の機能は通常、個々のアプリケーションとブラウザの間に OS が介在して、システム的に「既定」として設定されたブラウザを呼び出して URL を受け渡しています。
　｜ アプリケーションによっては、
　｜ 任意のブラウザを呼び出せるものもありますが...。

他のアプリから URL を渡された場合、Firefox 側から見ると、すでに起動しているときは起動中のウィンドウ内の新しいタブを開くか、同一プロセス内で新しいウィンドウを開くかして、それを表示しようとするのが、通常の動作だと思います。

しかし何らかの事情で、新しい別のプロセスで Firefox の起動を促された場合、すでに Firefox が起動しているなら、
　「Firefox は起動していますが応答しません。
　新しいウィンドウを開くにはまず既存の Firefox プロセスを終了させるか、
　コンピュータを再起動させなければなりません」
という警告が出て、URL の受け渡しに失敗するはずです。
おっしゃるように、「あたかも、-no-remoteオプションで起動している時と同じような状態」になっているようなケースが当てはまるかと思います。

一つのプロファイルを異なる複数のプロセスで同時使用できないという Firefox の仕様からすれば正当な結果ですが、ユーザーからすれば同一プロセス内で複数のウィンドウやタブを開こうとしているのか、別プロセスで Firefox を起動しようとしているのか、見ただけでは判断できません。

もし、"既定のブラウザ" の情報に何らかの狂いが生じているのだとしたら、一度 Firefox 以外のブラウザを既定のブラウザに設定し、改めて Firefox を既定のブラウザに設定し直すといったやり方で改善が望めるかもしれません。
要するに、Firefox が "既定のブラウザ" として正しくシステムに登録されるように設定し直してみるということです。

そんな単純な話ではなくもっと根深い問題が起こっているのかもしれませんが、さしあたり手軽に試せることとして...。
すでに試行済み、または的外れな書き込みだったらすみません。

（余談）[quote="Aqua"]Ver.UP以外に、何の変更もしていません。[/quote][size=100]ユーザーが自覚的におこなった変更はなかったとしても、ソフトウェアを起動して使うということは、常にシステムに対して何らかの書き換え・変更がおこなわれている可能性があるということです。
その中で運悪くどこかしらがダメージを被り、不具合を発生させてしまうことはありえます。
現に問題が起こっているソフトウェアの更新時のトラブルは一番に疑われますが、OS 自体やセキュリティ系ソフトウェアの自動更新なども、比較的大きな変更をシステムにもたらすことがありますから、そのとき水面下で何らかの事故が起こるとなおのこと、結果的にあるアプリケーションソフトの動作に弊害が出るようなケースはありうると思います。[/size]

Firefoxが起動している状態で、Thunderbird等の外部ソフトでURLリンクをクリックした時、「Firefox は起動していますが応答しません」のメッセージが出て、リンクページが開けません。
Firefox13.*までは発生していませんでしたが、14.01にVer.UP後、突然このようになり、大変不便なな状態です。Ver.UP以外に、何の変更もしていません。-no-remoteオプションはつけていませんが、あたかも、-no-remoteオプションで起動している時と同じような状態です。OSはWindowsXP Pro SP3です。
どなたか、対処方法がおわかりなら、ご教示下さい。よろしくお願いします。