更新は「管理者権限で実行する」ことがサポートに書かれています。

win7 32bitの標準ユーザーで使っている限りでは、Firefox、およびThunderbirdの自動更新が完全にできない状況になるということを報告します。
※手持ちでこれ以外の環境がないので、別の環境で発生するかは未確認

標準ユーザーで、Firefoxについて→ダウンロードした更新を適用をクリックすると、再起動されますが、何回やっても一向にバージョンアップされません。
Thunderbirdも使用しているのですが、こちらでも同じ現象が確認しました。

ちなみに、右クリックして管理者権限で起動してから同様の操作を行うと、更新が完了できました。
このような状況になる可能性もあるので、素直にUACダイアログを出して更新させる方がいいと思いますが、いかがでしょうか。


また、別件ですがあるユーザーで更新がダウンロードされた状態で、それとは別のユーザーでソフトウェアを更新すると、あるユーザー上では更新がダウンロードされた状態のままになってしまっていることも確認されました。
ダウンロードしたバージョンと、現在のバージョンのチェックを入れた方がいいのでは?