横から失礼します。
パスワード入力のダイアログが開かないとか、認証が通らないといった話ではなく、入力して認証が通ったあとに Firefox が今後そのパスワードをどう扱うかを問い合わせるポップアップメニューが出てこない、というお話ですよね？
十分ご承知かもしれませんが、確認を兼ねて、ご質問の場面における Firefox 11.0 の一般的な動作を書きます。
（1）Basic 認証を要求するサイトに初めてアクセスしたとき、当該ページが展開される前に「ユーザ名とパスワードを入力してください」というダイアログが開きます。
（2）正しい [ユーザ名] と [パスワード] を入力して [OK] ボタンを押すと目的のページが開きます。
（3）このときロケーションバーの左端に鍵型アイコンが現れ、そこから吹き出しの形で「<ドメイン> で使用する "ユーザ名" のパスワードを記憶させますか？」とたずねる大きな鍵マーク付きのポップアップが開きます。
（4）ここで [パスワードを記憶する] をクリックすると、Firefox はパスワードを記憶し、ポップアップは閉じます。
（5）（4）で記憶させず、[パスワードを記憶する] ボタンの右隣にあるドロップマーカー（▼ボタン）を押すと展開するメニューから、[このサイトのパスワードは記憶しない] または [今回は無視する] の項目を選択することもできます。
（補足説明）
（3）でポップアップが表示されているとき（ポップアップにフォーカスがある状態）、パスワードをどう扱うかの操作をする前にコンテンツエリアなどをクリックしてフォーカスを他に移すと、ポップアップは隠れます。
ただし、この問い合わせに何も対応せず保留したままだとロケーションバー左端には鍵型アイコンが残りますので、これをクリックすることで再度ポップアップを呼び出せます。
（4）で記憶された、サイト＋ユーザ名＋パスワードの組み合わせは、[オプション] -> [セキュリティ] -> [パスワード] -> [保存されているパスワード] から開く画面で確認できます。
次回以降（Firefox を再起動したのち）のアクセスでは、（1）のダイアログに [ユーザ名] と [パスワード] がオートコンプリートされます。
（ただし、[Firefox の終了時に履歴を消去する] の設定が無効か、有効にしていても [パスワード] の項目を選択していないことが前提です。）
（5）で [このサイトのパスワードは記憶しない] を選択すると、そのサイトはパスワードをいっさい保存しない扱いで登録されます。
この情報は、[オプション] -> [セキュリティ] -> [パスワード] -> [例外サイト] から開く画面で確認できます。
ここに登録されたサイトに対しては、以降はパスワード保存を問い合わせるポップアップは開きません。
誤ってここに登録してしまったサイトを [例外サイト] から削除することで、そのサイトへの次回のアクセスでは（3）の動作をとるようになります。
この流れの中で、もしどこかに Firefox の動作に対する見落としやご自身の操作ミスに気づく点があるなら、その箇所を点検・修正してみてください。
一方、以上の流れでどこにも見落としや操作ミスはないと断言できるか、まったく異なる表示や動作になっているなら、Firefox のどこかに問題が起こっている可能性が考えられます。
下記の公式サポート記事を精読し、必要な点検をおこなって問題点を切り分けてみてください。（とくに、「セーフモード」と「新しいプロファイル」の項目）
・
基本的なトラブルシューティング
また、一般的なログインを要求するサイトや他の Basic 認証のサイトでは起こらず、特定サイトの Basic 認証でのみ発生するのであれば、そのサイトに何らかの原因があるのかもしれません。
この場合は、サイト管理者に詳細を問い合わせてみるしかないと思います。
（その他の参考）
・
ユーザ名とパスワードが保存されない
（Basic 認証のサンプルページ）Basic 認証に対する Firefox の動作を試すときの参考に...。
http://www.kent-web.com/pwd/pwmgr.html
http://webings.net/w/htaccess/authuser/
http://websoft.niikest.com/scripts/wpba/sample.html
とりあえず以上です。外してたらすみません。
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