リカバリーしたとき、Firefoxのプロファイルはどうなさいましたか？
コレもリカバリーしたのなら、新しいプロファイルを作って、アドオンなどを何も入れずに、どうなるかご確認を。
プロファイルの管理

もし、新しく作っていたのなら、まず、以下を順に。
基本的なトラブルシューティング

　パソコンの不具合が多いのでリカバリし、firefoxを再インストールしたんですが、yahooのログインシールがシャットダウンのたびに消えてしまいます。またダウンロード履歴もシャットダウンのたびに消えます。cookieは有効にしています。
　何が起きているのでしょうか。試みにfirefoxをアンインストールして、インストールしなおしましたが解決しません。
　セキュリティソフトでフルスキャンしたらトロイの木馬が開いているのが1件ありました。削除済みです。
　話が面倒になるかもしれませんが、この症状が出ないこともあります。外付けHDDの電源on-offと関係があるような気もしますがはっきりしません。
　毎回、ログインシールとダウンロード履歴を確認してみて、ほっとしたり不安になったりの繰り返しです。改善策があればご教示お願いします。