Vine Linux 5.2 でサポートされている Firefox のバージョンを確認してください。
ディストリビューション側でパッケージが用意されているかと思います。

パッケージが用意されていない場合は自力でなんとかしなければなりません。
一般的なインストール方法は以下です。
[url=http://support.mozilla.com/ja/kb/%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%BC%E3%83%AB%E6%89%8B%E9%A0%86%20%EF%BC%88Linux%EF%BC%89#os=linux&browser=fx4]インストール手順 （Linux） | 操作方法 | Firefox ヘルプ[/url]

単純にダウンロードして解凍したらインストールできたとするのはあまりにも乱暴な
理解かと思います。

偶然的通行 さんが紹介された情報なども参考にしてディストリビューション側でパッ
ケージが提供されていない場合のアプリケーションのインストール方法について調べ
てみましょう。
もしパッケージが用意されているのならばパッケージマネージャでの正しいインスト
ール方法を確認しましょう。

繰り返しますが、せっかく Vine Linux のユーザフォーラムがあるのですからそちらで
尋ねてみるのがよろしいかと思います。
お勧めする理由は Linux ではディストリビューションによってパッケージが異なり、
公式サポートやサードパーティによる対応も異なるからです。
つまり Mozilla 純正のパッケージではないということです。
（ライブラリやカーネルも異なる場合があります）
ですのでこのフォーラムでは一般的な Linux のサポート情報になる限界があります。
　
また Vine Linux 5.1 から 5.2 へのアップグレードの際に何らかのトラブルが起きて
いるかも知れません。
そのあたりも含めて Vine Linux コミュニティが解決への近道でふさわしいかと思い
ます。
　

横から失礼します。
当方、Linux 系 OS を使う頻度は少なく、とくに Vine はまったく使ったことがないため、あくまで一般情報の範疇でのコメントになりますがご容赦ください。

デバッグについては、MDN (Mozilla Developer Network) に下記のような邦訳記事があります。少々古めですが参考にはなると思います。
・[url=https://developer.mozilla.org/ja/Debugging_Mozilla_on_Linux_FAQ]Debugging Mozilla on Linux FAQ[/url]

[quote="Allex"]Vine Linux5.2：firefox（4.0.1, 3.6.17,3.5）
（中略）
上記にあるように標準導入されているもの、新たにダウンロードして試したもの全てが同じ状況です。[/quote]
とすると、Firefox 単体というよりはシステム的な問題なのかもしれないので、kiki さんがおっしゃるように Vine のコミュニティでお尋ねになったほうが近道かもしれません。

で、いちおう比較対照という観点から下記などは参考になりませんでしょうか。
すでにご存知かもしれませんが、Vine Linux 5.2 に Firefox 4.0 をインストールした手順を紹介したブログ記事があります。
この記事から、Allex さんのところとの差異を見出せれば、何らかの糸口にはなるかもしれません。
（参考）
・[url=http://sealyoh.blog133.fc2.com/category4-1.html]我流コンピューター館 > vinelinux 5.2 で firefox 4.0 を動かしてみた（そのいち／そのに）[/url]

とりあえず情報のみ。　的外れだったらすみません。

プロファイルマネージャが起動しないため直接.mozilla以下を削除して試しました。

直接ダウンロードして解凍した3.6、4.01でもプロファイルマネージャは起動できません。

正常にインストールされているかどうかを確認する方法なんてあるのでしょうか？

　
[quote="Allex"]ご指摘のトラブルシューとは参考にしましたが、解決にいたる情報は見当たりませんでした。システム要件は満たしています。[/quote]
了解しました。

であれば Vine Linux のディストリビューション側に何か仕様上の問題があるのかも
知れません。
[url=https://groups.google.com/group/vine-users-forum?hl=ja]Vine Linux ユーザーフォーラム | Google グループ[/url] などで尋ねられたほうがいいか
と思います。

[quote="Allex"]プロファイルは.mozilla配下を削除して試してみました。新規のプロファイルは作成されていますが何の変化もありません。[/quote]
念のためですが、削除ではなくてプロファイルマネージャで新規プロファイルの作成
とその適用（プロファイルの指定）も試してみてください。
プロファイルマネージャが起動するかどうか、新規プロファイルが作成できるかどう
かで Firefox が正常にインストールされて機能しているかの判別に役立つでしょう。

[quote="Allex"]エラーが出力されるとすればどこでしょうか？[/quote]
通常はエラーコンソールですが正常に起動しないのであれば見ることもできないかと。

[quote="Allex"]デバッグ或はトレースオプションみたいなものはあるのでしょうか？[/quote]
"-jsconsole" という起動コマンドはありますが・・・。
[参照]
[url=https://developer.mozilla.org/ja/Command_Line_Options]Command Line Options - MDC Docs[/url]
　

投稿先失礼しました。

ご指摘のトラブルシューとは参考にしましたが、解決にいたる情報は見当たりませんでした。システム要件は満たしています。

プロファイルは.mozilla配下を削除して試してみました。新規のプロファイルは作成されていますが何の変化もありません。

エラーが出力されるとすればどこでしょうか？

デバッグ或はトレースオプションみたいなものはあるのでしょうか？

よろしくお願いします。

　
[quote="Allex"]ネットでは.parentlockとcompreg.datを削除しろとあるので、削除したが状況は変わりません。プロファイルを削除した状態にしても変化が見られません。[/quote]
プロファイルを削除した状態というのは起動時に自動生成されるデフォルトの新規プロファイ
ルでも起動しなかったということですか？

以下のトラブルシューティングをすべておこなった場合も改善されなかったのでしょうか？
注：リンク先のヘルプなども含みます。
[url=http://support.mozilla.com/ja/kb/Firefox%20will%20not%20start#os=linux&browser=fx4]Firefox が起動できない | トラブルシューティング | Firefox ヘルプ[/url]

システム要件も確認済みですか？
[url=http://mozilla.jp/firefox/4.0/system-requirements/]次世代ブラウザ Firefox - Firefox 4 システム要件[/url]


＃製品名は firefox ではなく Firefox です。製品名は正確に書きましょう。
＃投稿先が違います。お手数ですがモデレータによる適切なフォーラムへのトピック移動を
　お願いします。
　　

Vine Linux5.2：firefox（4.0.1, 3.6.17,3.5）

5.1までは普通に起動できていたのが、5.2にアップしてからプロセスだけは動いているようですが画面もエラーも表示されません。プロセスの存在は「ps -A|grep firefox」で確認し、killコマンドでプロセスを削除しても状況は同じです。
ネットでは.parentlockとcompreg.datを削除しろとあるので、削除したが状況は変わりません。プロファイルを削除した状態にしても変化が見られません。
上記にあるように標準導入されているもの、新たにダウンロードして試したもの全てが同じ状況です。

トレースとか取る方法がわかるともう少し、状況がはっきりするのですが。

どなたか、進展させる情報をお持ちでないでしょうか？