一応当方の環境での履歴の消去設定でチェック（して無い）項目は以下。
（ログイン関係と思われる項目のみ）

Cookie
現在のログイン情報

保存されてるパスワード
サイトの設定

上記のチェックを外してれば、ログアウトしない限り自動的にログインします。
（Cookieの扱いで時間経過でログアウトする場合も有りますが・・・）

尚最初の投稿で「ログイン出来ない」とはどう云う症状なのか？
ログインしても真っ白な画面なのか？
何処のサイトで毎回発生するのか？
等の情報が不測してます。

お返事ありがとうございます。

Firefoxボタン→オプション→プライバシー→履歴「Firefoxniに履歴を記憶させる」にすると、サイトのID、パスワード欄には入力はされますがサイトに全くログインすることができません。
ちなみに「記憶させる履歴を詳細設定する」にしてみると、「Firefoxの終了時に履歴を消去する」にチェックは入っていません。

また、
Firefoxボタン→オプション→プライバシー→履歴「履歴を一切記憶させない」を選択すると、サイトのID、パスワードは入力されログインできますが、一旦ブラウザを閉じると自動的にはログインできず、再度ID、パスワードを求められます。
この時、「記憶させる履歴を詳細設定する」にすると、「自動的にプライベートブラウジングモードで起動する」にチェックが入っています。
「Firefoxniに履歴を記憶させる」にした後「記憶させる履歴を詳細設定する」にすると、「自動的にプライベートブラウジングモードで起動する」にはチェックは入っていません。

なお、オプション→セキュリティ→「保存されているパスワード」を見ると、確かにID、パスワードは保存されています。
それでも全くログインできなかったり、毎回ID、パスワードを求められるのはどうしてなのでしょうか？[/list]

キャッシュをクリアするように設定していませんか？
http://support.mozilla.com/ja/kb/How%20 ... he%20cache

お返事ありがとうございます。
昨日画面上部の「Firefox」ボタン→オプション→セキュリティで確認したところ、
「サイトのパスワードを保存する」にチェックが入っており、ひとつのサイトのみ保存されていました。
一度それを削除し、再度サイトにID,パスワードを入力したところ、今度は何も記憶されなくなりました。
また、「タブをピン留め」したものも、一度Firefoxを閉じるとピン留めが外れてなくなってしまっています。これはそのような仕様なのでしょうか？
よろしくお願いします。

とりあえず。
ユーザ名とパスワードが保存されない

パスワードを記憶する

各サイトにログインする際、「IDとパスワードを保存する」にしているにも関わらず、全く保存されないため、IEでは入力なしにログインできるものが、Firefoxでは毎回ID、パスワードを入力しなければなりません。どうすればよいでしょうか？すべてのサイトのログインにおいてそうなります。