自己解決しました。
最近、古いPCをDNSサーバーにして
同じルーターじ上で使っていたのですが
使用感の確認が取れたので元に戻したところ
スクロール位置をずらしても更新のたびに
画面が入力フォームの位置にカーソル付きで移動する現象がなくなりました。
まだ、再度自前のDNSサーバーにつないでないので
本当にこの原因かどうか確認は取っていないのですが、
サーバーは他の目的のためなのでひとまずこれで解決とします。

アドバイス、ありがとうございました。

正しくは「Firefox3.6.9」でしょう。
記入欄とは此処で質問を書き込んだ時の様な「フォーム」（テキストエリア）の事を指しますか？
フォームの大きさを変更可能なアドオンを入れてませんか？
セーフモードや新規profileを適応して実行しても同じでしょうか？
最新の「Firefox3.6.10」でも同じ症状は発生しますか？
3.6.9の前のバージョンが不明なので、どんなアドオンを入れてて、入れてたアドオンが3.6.9に完全に対応して無かった可能性も否定出来ません。

定番ですがFirefox 不具合診断。
http://wiki.mozilla.gr.jp/wiki.cgi?page=chart
上記の事を全て着実に実行して確認。

当方、FireFox3.69を使用しているのですがこのバージョンを使用してから、
ページを新しく開いたりページを更新すると、
勝手に記入欄のあるところにスクロールバーの位置がずれてしまいます。
更新して情報を得るにはとても困るので、
誰かこれを防ぐ良い知恵はないでしょうか？

ちなみにOSはWindowsXPです。