ご回答ありがとうございます。

エンジンの違いで接続できないのは仕方のないことですね。
よく理解することができました。

ご提示の回避策の方法ですが
本サイトは金銭にかかわることで、リスクも高いため
みなさまのおっしゃるとおり、
IE8の使用を継続したいと思います。

3.5までは問題なく（運良く?）使用できていたので残念ですが
個人としては
今後、仕様の標準化がより進むことで再接続可能になることを
かすかに期待したいと思います・・・

それにしても
非力なPC（atom）でのIEの緩慢さは涙が出ます；；

私もSakiba氏と同じ意見です。
サイトの動作確認がIEとSafariでしか実行されて無いのだとしたら、GeckoエンジンのFirefoxでは正常な接続や閲覧が保証されないのも無理は無いと考える。
TridentやWebkitエンジンのブラウザは以下。

Trident／Internet Explorer - Lunascape - Sleipnir - Grani - Maxthon - aiBrowser - Avant等・・・
Webkit／Safari - シイラ - Konqueror - Epiphany - OmniWeb - iCab - Google Chrome - SRWare Iron - ChromePlus等・・・

上記のブラウザでは推奨環境に近いので、コレなら大丈夫だと思いますが、矢張り確実なのは動作確認された推奨ブラウザを使うのが無難かと・・・
どうしてもFirefoxを使うのならばIE-Tab等を使うとかの方法も在るでしょう。
然し動作保証外ですから注意が必要でしょうね。

ご回答ありがとうございます。

全くもっておっしゃるとおりと思います。
（現在、本サイト利用時のみIE8を使用しております）

おっしゃるとおりですが
もしかしたら解決策があるかと思い、
質問させていただきました次第です・・・

もしかしたら、何かしらの解決、回避方法があるかもしれませんので、それについては
詳しい方の回答をお待ちいただければと思います。

が、当該サイトの【ご利用推奨ブラウザ】には InternetExplorer (Win) と Safari (Mac)
しか記載が無いので、それらを利用するほうが間違いないような気もします。もしサイト側の
問題であったとしても、利用を推奨していない、検証していないブラウザについては対応して
もらえない可能性も高いかと思われます。

三井住友銀行 > ログイン > [url=http://www6.smbc.co.jp/help_login/archive/17]ログインでお困りのお客さま[/url]

OSの記載を忘れたので追記いたします。

確認OS(機種名)
Windows 7 Home (sony vaio x(32bit),acer as1410(64bit))
Windows vista basic (sony vaio p(32bit))

質問初めての身ですので
失礼あればご容赦ください。

SMBC ONE’Sダイレクト（インターネット銀行決済サイト）に
https://direct.smbc.co.jp/aib/aibgsjsw5001.jsp

Firefox3.5では接続し問題なく接続し、決済処理ができていたのですが
Firefox3.6（.1～3全てにおいて）にあげてから
ログインはできるのですが、接続中(数回クリック後)に下記エラーが
発生して処理できなくなります。
セーフモードで立ち上げても同様の結果です。
他のサイト（例えばアマゾンやマネックス証券)は
httpsで問題なく接続、決済処理できています。
IE8,Opera10.52ではONE’Sダイレクトは問題なく接続、決済処理できています。

同様の症状の方、問題の出ない方はいらっしゃいますか？
みなさまのお知恵を拝借させてください。
よろしくお願いいたします。

---引用始まり---
接続がリセットされました
ページの読み込み中にサーバへの接続がリセットされました。
* このサイトが一時的に利用できなくなっていたり、サーバの負荷が高すぎて接続できなくなっている可能性があります。しばらくしてから再度試してください。
* 他のサイトも表示できない場合、コンピュータのネットワーク接続を確認してください。
* ファイアーウォールやプロキシでネットワークが保護されている場合、Firefox による Web アクセスが許可されているか確認してください。
---引用終わり---