[color=#006600]＊質問・投稿する前に [url=http://forums.mozillazine.jp/faq.php?mode=forum]フォーラムの利用について[/url] をきちんと読みましょう。
＊環境として OS の種類、Firefox のバージョンぐらいは書き添えましょう。
＊質問した後は結果や経過を必ず書くようにしましょう。[/color]

[quote="snetweb"]ＩＤとパスワードを記憶できなくなってしまいました。[/quote]
対処法は以下のドキュメントを参照してひとつずつ確認して問題を切り分けて
みることです。
[url=http://support.mozilla.com/ja/kb/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%B6%E5%90%8D%E3%81%A8%E3%83%91%E3%82%B9%E3%83%AF%E3%83%BC%E3%83%89%E3%81%8C%E4%BF%9D%E5%AD%98%E3%81%95%E3%82%8C%E3%81%AA%E3%81%84]Firefox サポート / ナレッジベース / ユーザ名とパスワードが保存されない[/url]
[url=http://support.mozilla.com/ja/kb/%E8%A8%AD%E5%AE%9A%E3%81%8C%E4%BF%9D%E5%AD%98%E3%81%95%E3%82%8C%E3%81%AA%E3%81%84]Firefox サポート / ナレッジベース / 設定が保存されない[/url]

古いバージョンの場合は以下に該当するかもです。
[url=http://support.mozilla.com/ja/kb/Firefox+%E3%81%AE%E3%82%A2%E3%83%83%E3%83%97%E3%82%B0%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%83%89%E5%BE%8C%E3%81%AB%E3%83%91%E3%82%B9%E3%83%AF%E3%83%BC%E3%83%89%E3%81%AE%E4%BD%BF%E7%94%A8%E3%81%A8%E4%BF%9D%E5%AD%98%E3%81%8C%E3%81%A7%E3%81%8D%E3%81%AA%E3%81%84]Firefox サポート / ナレッジベース / Firefox のアップグレード後にパスワードの使用と保存ができない[/url]

上記でも解決しない場合は以下を参考にしてセーフモードや新規プロファイル
で確認してみてください。
[url=http://support.mozilla.com/ja/kb/%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E7%9A%84%E3%81%AA%E3%83%88%E3%83%A9%E3%83%96%E3%83%AB%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%B3%E3%82%B0]Firefox サポート / ナレッジベース / 基本的なトラブルシューティング[/url]

[quote="snetweb"]アンインストールして入れなおしてみましたが、状況は変わりません。[/quote]
多くの不具合はプロファイルに問題がある場合です。
ですので Firefox 本体の再インストールではほとんど解決されないことが多いです。
　

OSとFirefoxのビルド（バージョン）は？

profile内のkey3.db、signons.sqlite、cookies.sqlite、cookies.sqlite-journalを別ディレクトリにコピーして、上記ファイルから直接削除やオプションからcookieを削除して、Firefoxを再起動。
改めてIDとpassを必要なサイトに接続～ログインで覚えさせる挙動が再現する筈です。
尚、上記ファイルはFirefox3.*以降のですから注意。

ＩＤとパスワードを記憶できなくなってしまいました。
アンインストールして入れなおしてみましたが、状況は変わりません。
ボタンを押しても反応してくれません。
対処方法等お教えいただければ幸いです。