ID やパスワードはクッキー（cookie）として Firefox に保存されます。
Firefox 内で確認してもそのサイトが無ければ保存されていないということに
なります。
保存されていなければサイトを開いた際にログイン ID やパスワードを入力
しようとすれば記憶するかどうかのバー表示が上部に出ます。　

んでもって ID やパスワードが保存されていない、サイトにログインしようと
しても記憶するかどうかも尋ねてもらえないとしたらプロファイルに不具合が
起きている可能性が考えられます。　

Firefox のセーフモードで起動する、新規プロファイルを作成してそれを適用
してみて再現するかどうか確認してみてください。
autocomplete="on" となっている ID 又はパスワードを記憶してくれたとした
らそれまで使用していたプロファイルに不具合があったということになります。
　
[参照]　
[url=http://support.mozilla.com/ja/kb/%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E7%9A%84%E3%81%AA%E3%83%88%E3%83%A9%E3%83%96%E3%83%AB%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%B3%E3%82%B0]基本的なトラブルシューティング[/url]
　

キャッシュはキャッシュでも「cookie」の削除は実行しましたか？
https://www.cue-monitor.jp/
http://research-panel.jp/
ソレと・・・
>>別のサイト経由で云々の其の該当サイトのURIも含む。

ツール～オプション～プライバシー～「記憶させる履歴を詳細設定にする」から「cookieを表示」で、該当するURIを全件削除した後に再起動。
再度、該当サイトに接続してログインを実行。
コレでFirefoxにパスワード保存のダイアログが出れば成功の筈ですが・・・

kikiさま、ACさま。ありがとうございます。

キューモニターは退会していません。
ですから少なくともIDは記憶されるはずですよね。

リサーチパネルはオートコンプリートOFFかもしれませんが
退会まではID、パスワードの入力はしていませんでした。
退会後入会したときID、パスワードは同じだったにもかかわらず
だめになってしまったのです。

キャッシュを消して、Macを再起動する以外に
なにか再度新しいページに行ったと思わせるような
方法はないでしょうか？

何度も申し訳ありません。
サイト名ではなくURLを記載するものだとも教えられました。
ありがとうございました。
もう少しよろしくお願いします。

　
[quote="kiki"]またこのサイトは autocomplete="on" になっているようですのでパスワードは記憶されると思います。[/quote][quote="AC"]ユーザーIDは"on"ですが、パスワードは"off"になってますよ。[/quote]
おっと、失礼しました。
よく見たらパスワードは off ですね。
　　

[quote="yagirin"]リサーチパネルというアンケートのサイトです。[/quote]
ここですか？
http://research-panel.jp/
# サイトの名称ではなく URL を記載してください。

ここも、autocomplete="off"ですよ。

[code]<input name="mail" style="width: 110px; height: 18px; ime-mode: disabled;" type="text">
<input name="password" style="width: 110px; height: 18px; ime-mode: disabled;" autocomplete="off" type="password">
[/code]

[quote="kiki"]またこのサイトは autocomplete="on" になっているようですのでパスワードは記憶されると思います。[/quote]
ユーザーIDは"on"ですが、パスワードは"off"になってますよ。

[code]
<dl>
<dt><label for="user"><img src="common/images/entrybox_user.gif" alt="ユーザーID" height="14" width="66"></label></dt>
<dd><input name="user" id="user" maxlength="128" autocomplete="on" type="text"></dd>
<dt><label for="pass"><img src="common/images/entrybox_pass.gif" alt="パスワード" height="14" width="66"></label></dt>
<dd><input name="pass" id="pass" maxlength="16" autocomplete="off" type="password"></dd>
</dl>
[/code]

　
キューモニターとは
[url=https://www.cue-monitor.jp/]モニター募集中！！｜株式会社インテージのcue monitor[/url]
のことですね。

[url=https://www.cue-monitor.jp/faq/tp_faq06.html#reentry]退会について｜よくある質問[/url] によると以下のように書かれています。
[quote]Q4. 退会後に再度登録はできますか？
A. 退会後、一定期間を過ぎませんと再度のモニター登録はしていただくことができません。
恐れ入りますが、なにとぞご了承ください。[/quote]
またこのサイトは autocomplete="on" になっているようですのでパスワードは記憶される
と思います。
　

palさん。アドバイスありがとうございます。

ありがたいことに大人向けサイトではないのです。

リサーチパネルというアンケートのサイトです。
ふつうに登録したのですが、別のサイト経由で
登録するとポイントがつくことがわかり
いったん退会してすぐに再登録しました。
（せこくてすみません）
退会するまではパスワードが出ていました。

もう一つはキューモニターというアンケートのサイトです。
こちらは最初から手入力だったような気がします。

どうぞよろしくお願いします。

>いったん退会して再度登録したところうまくいかなくなってしまったので、
>サイト側の指定と言うことはないと思います。

退会期間がどれくらいだったかわかりませんが、場合によっては、その期間に仕様変更されているかもしれません。
サイトを提示していただければ、仕様か否かはわかります。(大人向けサイトなら提示不要です。)

アドバイスありがとうございます。

Hideさん。
私も「保存されているパスワード」の欄をのぞきましたが、
そもそもそのサイトは入っていませんでした。
もちろん「サイトのパスワードを保存する」にチェックは入っていますし
「保存しないサイト」の中にも入っていません。

kiyo4_kさん。
今特に困っているサイトが2つあるのですが、
1つはつい昨日までパスワード情報が登録されていました。
いったん退会して再度登録したところうまくいかなくなってしまったので、
サイト側の指定と言うことはないと思います。

Macが壊れたとか、ものすごい問題ではないのですが
なぜこうなったのかという理由と解決法がわからず、
なんだかもやもやしています。

他にもお知恵を拝借させていただきたいと思います。
よろしくお願いします。

最後になりましたが、Hideさん、kiyo4_kさん、ありがとうございました。
またよろしくお願いします。

Yahooと同じようにサイト側で保存しないように指定しているのでは？

Firefox メニューから環境設定を呼び出し、セキュリティタブの「保存されているパスワード」の一覧にそのサイトが登録されていれば削除して、該当サイトでユーザ名とパスワードを入力してみてください。

やぎりんです。よろしくお願いします。

MacOSX10.4.11　FireFox3.5.5を使用しています。

他のサイトはちゃんと自然にIDとパスワードが出るのに
どうしても出ないサイトがあります。
いちいち手入力しています。

ヘルプを読むと、最初に表示した画面でパスワードの設定を
求められると書いてあります。
一番はじめにIDとパスワードを入力する画面で
たぶん上に出てきたパスワードの設定に関するボタンを
何も押さなかったのかもしれません。
すみません。確信ありません。

キャッシュをすべて消して、再起動してみましたがだめでした。
もう一度設定ボタンを出す方法をどなたかご存じないでしょうか。

どうぞよろしくお願いいたします。