それぞれ、プロファイルごと保存し、新しいパソコンにコピーすればOKです。
MozBackupはなくても問題ないです。

http://support.mozilla.com/ja/kb/%E8%A8%AD%E5%AE%9A%E6%83%85%E5%A0%B1%E3%81%AE%E3%83%90%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%A2%E3%83%83%E3%83%97

[例：Windows,Firefox]
%APPDATA%\Mozilla\Firefox\Profiles\xxxxxxxx.default\
にプロファイルがあり、このFirefoxという名称のフォルダ部分から丸ごとコピー。
これを、新しいパソコンの
%APPDATA%\Mozilla\
にFirefoxフォルダをコピーすれば、
%APPDATA%\Mozilla\Firefox\Profiles\xxxxxxxx.default\
となり、復元(移行)完了です。

Firefox3.5.2、Thuderbird 2.0.0.22を新パソコンにパソコンの引っ越し中です。つきましてはMozBackup1.49をインストールしてを検討しています、 少し疑問がありますのはバックアップは旧パソコンで作業してマイドキュメントにそれぞれファイルアイル確認していますが新パソコンでリストアーする方法がスナップショット見ても理解できないのです。
つまりMozBackup1.49を新パソコンで起動し復元ボタンをクリックすると自動的にバックアップしたポロファイルが表示されて完了までたどりつくのでしょうか。以上お尋ねいたします。