> 自分が登録しているお気に入りなどを、サイトから調べたりすることができるのでしょうか?
マルウェアみたいな情報を盗み取るようなものがありますので、やろうと思えばできるのではないでしょうか。
これはブラウザに関係ありません。
> 自分が見ていたurlなどから、たとえば違うurlを見たりするとどこを見ていたかわかるのでしょうか?
たとえば、以下にアクセスすると、「どこから来たか(HTTP_REFERER)」という項目があり、どのサイトにあるリンクをクリックしてきたか(いわゆる「リンク元」)がわかります。これもどのブラウザでも関係ありません。
http://www.cman.jp/network/support/go_access.cgi
100%完璧ということはありえません。
きちんと最低限のアップデートをしていれば、そう気にすることはないと思います。