一部のサイトのみということなら、もしかして問題のサイトが
例外サイトに設定されているということはないでしょうか。
お使いの環境を書かれていないので Mac OS X を例にします。
メニューの Firefox から環境設定を呼び出し、セキュリティタブをクリック。※ Windows だと Tool から
パスワード項目の「例外サイト...」ボタンを押し、そこに問題のサイトがリストされていたら削除してみてください。
これが当てはまらなければ、Firefox を終了してから、プロファイルフォルダの中の permissions.sqlite と hostperm.1 というファイルが見つけ、2つをデスクトップに移動してから Firefox を起動し、問題が再現するか確認してください。
※ プロファイルの場所は OS によって異なります。
Firefox Support~ ヘルプとチュートリアル:
プロファイル
# 質問の際にはお使いの OS の種類も書き添えるようお願いします。